Mostre se as transformações lineares abaixo são isomorfismos. Em caso negativo, mostre se falha a injetividade ou a sobrejetividade. T: R^3 R^4, dada por T(x, y, z)=(x, x-y, y-z, z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é descobrir se essa transformação é um isomorfismo. Para isso, vamos precisar entender o que é um isomorfismo, o que envolve verificar injetividade e sobrejetividade, e usar um pouco de teoria de transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um isomorfismo. Uma transformação linear é um isomorfismo se ela for bijetora, ou seja, se for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Isso significa que cada vetor no espaço de chegada tem exatamente um vetor no espaço de partida que mapeia para ele.

Passo 3

Vamos analisar a injetividade da transformação x = 0 x - y = 0 y - z = 0 z = 0 . Uma transformação é injetora se diferentes vetores no domínio são mapeados para diferentes vetores no contradomínio. Para verificar isso, precisamos ver se o núcleo de (o conjunto de vetores que são mapeados para o vetor zero) contém apenas o vetor zero.
Então, vamos resolver :

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Isso mostra que o único vetor no núcleo de é . Portanto, é injetora.

Passo 5

Agora, vamos verificar a sobrejetividade. Uma transformação é sobrejetora se todo vetor no espaço de chegada pode ser “atingido” por algum vetor do domínio . Ou seja, para todo , existe tal que .

Passo 6

Vamos tentar resolver o sistema:
x = a x - y = b y - z = c z = d
Substituindo a - y = b Rightarrow y = a - b na segunda equação:
(a - b) - z = c Rightarrow z = (a - b) - c
Substituindo (a - b) - c = d Rightarrow a - b - c = d na terceira equação:
E já temos , então:

Passo 7

A última equação impõe uma condição para que exista solução. Isso significa que nem todo vetor em pode ser alcançado a menos que . Portanto, não é sobrejetora, pois nem todo vetor em pode ser obtido a partir de algum vetor em .

Resposta

A transformação não é um isomorfismo porque não é sobrejetora.

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