Determinar a projeção ortogonal do ponto P(2,6) sobre a reta r : x + y − 2 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui! A questão pede para a gente encontrar a projeção ortogonal do ponto $ P(2,6) $ sobre a reta $ r: x + y - 2 = 0 $. Isso tá relacionado ao conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre projeções de pontos em retas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a projeção de um ponto em uma reta usando fórmulas de geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é projeção ortogonal. Imagina que você tem um ponto no papel e uma reta. A projeção desse ponto na reta é o ponto mais próximo na reta em relação ao ponto original, formando um ângulo de 90 graus com a reta.

Passo 3

Para encontrar essa projeção, podemos usar a fórmula da projeção de um ponto $ P(x_0, y_0) $ sobre a reta dada pela equação geral $ Ax + By + C = 0 $. A fórmula é:
P(x0, y0)

Passo 4

Vamos identificar os valores na nossa equação da reta $ r: x + y - 2 = 0 $. Aqui, $ A = 1 $, $ B = 1 $ e $ C = -2 $. O ponto que queremos projetar é $ P(2,6) $, então $ x_0 = 2 $ e $ y_0 = 6 $.

Passo 5

Agora, vamos calcular $ Ax_0 + By_0 + C $:
Ax0 + By0 + C

Passo 6

Em seguida, calculamos $ A^2 + B^2 $:
A^2 + B^2

Passo 7

Vamos colocar esses valores na fórmula da projeção:
x' = 2 - 1 cdot 62 = 2 - 3 = -1
y' = 6 - 1 cdot 62 = 6 - 3 = 3

Resposta

A projeção ortogonal do ponto $ P(2,6) $ sobre a reta $ r: x + y - 2 = 0 $ é $ P’(-1, 3) $.

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