No espaço vetorial P3(R) consideremos o produto interno =integral0^1 p(x) q(x) d x. Calcular ,|p(x)|,|q(x)| e |p(x)+q(x)| onde p(x)=x^3-x-1 e q(x)=x^2+1.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Estamos trabalhando no espaço vetorial P3(R), que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. A gente tem um produto interno definido por = integral0^1 p(x) q(x) dx. O que precisamos fazer aqui é calcular:
  1. O produto interno
  2. As normas |p(x)| e |q(x)|
  3. A norma da soma dos polinômios, ou seja, |p(x) + q(x)|
Os polinômios dados são p(x) = x^3 - x - 1 e q(x) = x^2 + 1. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades dos produtos internos em espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto interno . Pelo que foi definido, isso significa que vamos integrar o produto de p(x) e q(x) de 0 a 1:
= integral0^1 p(x) q(x) dx
Vamos multiplicar p(x) por q(x):
p(x) cdot q(x) = (x^3 - x - 1)(x^2 + 1)
Expandindo essa multiplicação:
(x^3 cdot x^2) + (x^3 cdot 1) + (-x cdot x^2) + (-x cdot 1) + (-1 cdot x^2) + (-1 cdot 1) = x^5 + x^3 - x^3 - x - x^2 - 1
Simplificando os termos semelhantes:
x^5 - x^2 - x - 1
Agora, vamos integrar cada termo de 0 a 1:
integral0^1 x^5 dx - integral0^1 x^2 dx - integral0^1 x dx - integral0^1 1 dx
Calculando cada integral separadamente:
  1. integral0^1 x^5 dx = [x^66]0^1 = 16 - 0 = 16
  2. integral0^1 x^2 dx = [x^33]0^1 = 13 - 0 = 13
  3. integral0^1 x dx = [x^22]0^1 = 12 - 0 = 12
  4. integral0^1 1 dx = [x]0^1 = 1 - 0 = 1
Substituindo de volta:
= 16 - 13 - 12 - 1
Vamos converter tudo para frações com denominador 6 para facilitar:
= 16 - 26 - 36 - 66 = 1 - 2 - 3 - 66 = -106 = -53

Passo 3

Agora, vamos calcular as normas |p(x)| e |q(x)|. A norma de um vetor (ou de um polinômio nesse caso) é dada pela raiz quadrada do produto interno do vetor consigo mesmo:
|p(x)| = raiz
|q(x)| = raiz
Vamos começar com |p(x)|. Primeiro, encontramos :
= integral0^1 (x^3 - x - 1)^2 dx
Expandindo (x^3 - x - 1)^2:
(x^3)^2 + (-x)^2 + (-1)^2 + 2(x^3)(-x) + 2(x^3)(-1) + 2(-x)(-1)
Simplificando:
x^6 + x^2 + 1 - 2x^4 - 2x^3 + 2x
Agora, integramos cada termo de 0 a 1:
integral0^1 x^6 dx + integral0^1 x^2 dx + integral0^1 1 dx - 2integral0^1 x^4 dx - 2integral0^1 x^3 dx + 2integral0^1 x dx
Calculando cada integral:
  1. integral0^1 x^6 dx = [x^77]0^1 = 17
  2. integral0^1 x^2 dx = 13
  3. integral0^1 1 dx = 1
  4. -2integral0^1 x^4 dx = -2 cdot 15 = -25
  5. -2integral0^1 x^3 dx = -2 cdot 14 = -12
  6. 2integral0^1 x dx = 2 cdot 12 = 1
Somando tudo:
17 + 13 + 1 - 25 - 12 + 1
Encontrando um denominador comum, que pode ser 210:
30210 + 70210 + 210210 - 84210 - 105210 + 210210 = 30 + 70 + 210 - 84 - 105 + 210210 = 331210
Então:
|p(x)| = raiz331210 approx 1,261
Fazendo o mesmo para |q(x)|:
= integral0^1 (x^2 + 1)^2 dx = integral0^1 x^4 + 2x^2 + 1 dx
Integrando:
x^55 + 2x^33 + x |0^1 = 15 + 23 + 1 = 315 + 1015 + 1515 = 2815
Então:
|q(x)| = raiz2815 approx 1,369

Passo 4

Por último, vamos calcular a norma da soma dos polinômios, |p(x) + q(x)|. Primeiro, somamos p(x) e q(x):
p(x) + q(x) = (x^3 - x - 1) + (x^2 + 1) = x^3 + x^2 - x
Agora, calculamos :
integral0^1 (x^3 + x^2 - x)^2 dx
Expandindo (x^3 + x^2 - x)^2:
x^6 + x^4 + x^2 + 2x^5 - 2x^4 - 2x^3
Integrando cada termo:
integral0^1 x^6 dx + integral0^1 x^4 dx + integral0^1 x^2 dx + 2integral0^1 x^5 dx - 2integral0^1 x^4 dx - 2integral0^1 x^3 dx
Calculando:
  1. integral0^1 x^6 dx = 17
  2. integral0^1 x^4 dx = 15
  3. integral0^1 x^2 dx = 13
  4. 2integral0^1 x^5 dx = 2 cdot 16 = 13
  5. -2integral0^1 x^4 dx = -2 cdot 15 = -25
  6. -2integral0^1 x^3 dx = -2 cdot 14 = -12
Somando tudo:
17 + 15 + 13 + 13 - 25 - 12
Novamente, encontrando um denominador comum, que pode ser 210:
30210 + 42210 + 70210 + 70210 - 84210 - 105210 = 30 + 42 + 70 + 70 - 84 - 105210 = -17210
Note que houve um erro na expansão inicial. Vamos corrigir:
Na verdade, ao expandir (x^3 + x^2 - x)^2, devemos ter:
x^6 + 2x^5 + x^4 - 2x^4 - 2x^3 + x^2
Simplificando:
x^6 + 2x^5 - x^4 - 2x^3 + x^2
Agora, integrando corretamente:
17 + 26 - 15 - 24 + 13 = 17 + 13 - 15 - 12 + 13
Convertendo para denominador 210:
30210 + 70210 - 42210 - 105210 + 70210 = (30 + 70 + 70) - (42 + 105)210 = 170 - 147210 = 23210
Então:
|p(x) + q(x)| = raiz23210 approx 0,339

Resposta

Portanto, os resultados são:
  • = -dfrac53
  • |p(x)| approx 1,261
  • |q(x)| approx 1,369
  • |p(x) + q(x)| approx 0,339

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