No espaço vetorial consideremos o produto interno . Calcular e onde e .
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. Estamos trabalhando no espaço vetorial , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. A gente tem um produto interno definido por . O que precisamos fazer aqui é calcular:
O produto interno
As normas e
A norma da soma dos polinômios, ou seja,
Os polinômios dados são e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades dos produtos internos em espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto interno . Pelo que foi definido, isso significa que vamos integrar o produto de e de 0 a 1:
Vamos multiplicar por :
Expandindo essa multiplicação:
Simplificando os termos semelhantes:
Agora, vamos integrar cada termo de 0 a 1:
Calculando cada integral separadamente:
Substituindo de volta:
Vamos converter tudo para frações com denominador 6 para facilitar:
Passo 3
Agora, vamos calcular as normas e . A norma de um vetor (ou de um polinômio nesse caso) é dada pela raiz quadrada do produto interno do vetor consigo mesmo:
Vamos começar com . Primeiro, encontramos :
Expandindo :
Simplificando:
Agora, integramos cada termo de 0 a 1:
Calculando cada integral:
Somando tudo:
Encontrando um denominador comum, que pode ser 210:
Então:
Fazendo o mesmo para :
Integrando:
Então:
|q(x)| = raiz2815 approx 1,369
Passo 4
Por último, vamos calcular a norma da soma dos polinômios, |p(x) + q(x)|. Primeiro, somamos p(x) e q(x):
p(x) + q(x) = (x^3 - x - 1) + (x^2 + 1) = x^3 + x^2 - x