Determinar a projeção ortogonal do vetor u=(1,-1,1) sob a reta r: x-12=y2=1-z.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica onde precisamos encontrar a projeção ortogonal do vetor u = (1, -1, 1) sobre uma reta definida pelas equações x-12 = y2 = 1 - z. Para isso, vamos precisar entender como calcular a projeção de um vetor em uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta r: x-12 = y2 = 1 - z. Essa forma paramétrica nos permite identificar o vetor diretor da reta e um ponto de referência.
A equação pode ser escrita de forma paramétrica usando um parâmetro t:
x = 1 + 2t y = 0 + 2t 1 - z = t Rightarrow z = 1 - t
Portanto, podemos identificar:
  • Ponto de referência: P0 = (1, 0, 1)
  • Vetor diretor: v = (2, 2, -1)

Passo 3

Para encontrar a projeção ortogonal do vetor u sobre a reta r, usamos a fórmula da projeção de um vetor u sobre um vetor v:
projv,u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (1)(2) + (-1)(2) + (1)(-1) = 2 - 2 - 1 = -1
Agora, calculamos v cdot v:
v cdot v = (2)^2 + (2)^2 + (-1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da projeção:
projv,u = ( -19 ) v = ( -19 ) (2, 2, -1) = ( -29, -29, 19 )

Resposta

A projeção ortogonal do vetor u = (1, -1, 1) sobre a reta r é ( -dfrac29, -dfrac29, dfrac19 ).

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