Determinar a projeção ortogonal do vetor sob a reta .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica onde precisamos encontrar a projeção ortogonal do vetor sobre uma reta definida pelas equações . Para isso, vamos precisar entender como calcular a projeção de um vetor em uma reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da reta . Essa forma paramétrica nos permite identificar o vetor diretor da reta e um ponto de referência.
A equação pode ser escrita de forma paramétrica usando um parâmetro :
Portanto, podemos identificar:
  • Ponto de referência:
  • Vetor diretor:

Passo 3

Para encontrar a projeção ortogonal do vetor sobre a reta , usamos a fórmula da projeção de um vetor sobre um vetor :
Aqui, é o produto escalar dos vetores e é o produto escalar de consigo mesmo.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :
Agora, calculamos :

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da projeção:

Resposta

A projeção ortogonal do vetor sobre a reta é .

Exercícios relacionados

Identifiar a cônica, achar a equação no ultima sistema de coordenadas utilizado:
(10 pontos)
Determine as equações paramétricas e simétrica da reta , que passa pelo ponto , e é paralela ao vetor dado:
(a) e ;
(b) e ;
© e ;
(d) e .
Determinar a projeção ortogonal do vetor diretor da reta na direção do vetor normal ao plano .
Determine a posição relativa das retas e :