Determinar a projeção ortogonal do vetor sob a reta .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Geometria Analítica onde precisamos encontrar a projeção ortogonal do vetor sobre uma reta definida pelas equações . Para isso, vamos precisar entender como calcular a projeção de um vetor em uma reta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da reta . Essa forma paramétrica nos permite identificar o vetor diretor da reta e um ponto de referência.
A equação pode ser escrita de forma paramétrica usando um parâmetro :
Portanto, podemos identificar:
Ponto de referência: P0 = (1, 0, 1)
Vetor diretor: v = (2, 2, -1)
Passo 3
Para encontrar a projeção ortogonal do vetor u sobre a reta r, usamos a fórmula da projeção de um vetor u sobre um vetor v:
projv,u = ( u cdot vv cdot v ) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores e v cdot v é o produto escalar de v consigo mesmo.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = (1)(2) + (-1)(2) + (1)(-1) = 2 - 2 - 1 = -1