Determinar a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do
relação às bases indicadas:
e base
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um operador linear
definido por
e uma base
. Nosso objetivo aqui é encontrar a representação matricial desse operador em relação à base
. Para isso, vamos precisar entender como representar transformações lineares usando matrizes e como mudar de base.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. Essa matriz transforma as coordenadas de um vetor na base padrão para as coordenadas da imagem desse vetor após a transformação. No nosso caso, como estamos trabalhando com uma base diferente
, precisamos adaptar esse procedimento.
Passo 3
O próximo passo é aplicar o operador
a cada vetor da base
. Vamos calcular
e
:
Passo 4
Agora, precisamos expressar os resultados
e
como combinações lineares dos vetores da base
.
Vamos supor que:
Vamos encontrar os coeficientes
.
Para
:
Resolvendo o sistema:
Da equação (1):
Substituindo na equação (2):
Então:
Portanto:
Agora, para
:
Resolvendo o sistema:
Da equação (3):
Substituindo na equação (4):
Então:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos as combinações lineares, podemos montar a matriz de
em relação à base
. Cada coluna da matriz será formada pelos coeficientes das combinações lineares que encontramos.
Assim, a matriz
é:
Resposta
A representação matricial do operador
em relação à base
é: