Para quais valores de b in Z a função g: Z Z dada por g(x)=b x possui inversa? Para cada valor de b, encontre a função inversa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema! A gente precisa descobrir para quais valores inteiros de a função tem uma função inversa. Além disso, para cada valor de que funcionar, a gente tem que encontrar qual é essa função inversa.
Matéria envolvida: Funções Inversas e Propriedades de Injetividade e Sobrejetividade.
Vamos precisar entender quando uma função é invertível. Basicamente, para uma função ter inversa, ela precisa ser bija: ou seja, ser simultaneamente injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (toda saída possível é atingida por alguma entrada).

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função quando .
  • Quando :
    • A função fica para todo .
    • Injetividade: Não é injetora porque todos os diferentes apontam para o mesmo valor, que é 0.
    • Sobrejetividade: Só atinge o valor 0, então não é sobrejetora para todo .
    • Conclusão: Não tem inversa.

Passo 3

Agora, vamos ver o caso quando .
  • Quando :
    • A função fica , que é a função identidade.
    • Injetividade: É injetora porque cada mapeia para um único .
    • Sobrejetividade: É sobrejetora porque todo inteiro tem um correspondente ( ).
    • Conclusão: Tem inversa, que é ela própria: .

Passo 4

Vamos analisar agora quando .
  • Quando :
    • A função fica .
    • Injetividade: É injetora porque cada mapeia para um único .
    • Sobrejetividade: É sobrejetora porque todo inteiro tem um correspondente ( ).
    • Conclusão: Tem inversa, que também é ela própria: .

Passo 5

Agora, vamos considerar valores de diferentes de e .
  • Quando ou (já que é inteiro, isso significa ):
    • A função é injetora porque cada mapeia para um único múltiplo de .
    • Porém, não é sobrejetora, porque nem todo inteiro pode ser escrito como . Por exemplo, se , números ímpares não têm pré-imagem.
    • Conclusão: Não tem inversa.

Resposta

A função g^-1(y) = y possui inversa somente para g^-1(y) = -y e . As funções inversas são:
  • Para :
  • Para :

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