Para quais valores de
a função
dada por
possui inversa? Para cada valor de
, encontre a função inversa.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema! A gente precisa descobrir para quais valores inteiros de
a função
tem uma função inversa. Além disso, para cada valor de
que funcionar, a gente tem que encontrar qual é essa função inversa.
Matéria envolvida: Funções Inversas e Propriedades de Injetividade e Sobrejetividade.
Vamos precisar entender quando uma função é invertível. Basicamente, para uma função ter inversa, ela precisa ser bija: ou seja, ser simultaneamente injetora (cada entrada tem uma saída única) e sobrejetora (toda saída possível é atingida por alguma entrada).
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
quando
.
- Quando
: - A função fica
para todo . - Injetividade: Não é injetora porque todos os
diferentes apontam para o mesmo valor, que é 0. - Sobrejetividade: Só atinge o valor 0, então não é sobrejetora para todo
. - Conclusão: Não tem inversa.
- A função fica
Passo 3
Agora, vamos ver o caso quando
.
- Quando
: - A função fica
, que é a função identidade. - Injetividade: É injetora porque cada
mapeia para um único . - Sobrejetividade: É sobrejetora porque todo inteiro
tem um correspondente ( ). - Conclusão: Tem inversa, que é ela própria:
.
- A função fica
Passo 4
Vamos analisar agora quando
.
- Quando
: - A função fica
. - Injetividade: É injetora porque cada
mapeia para um único . - Sobrejetividade: É sobrejetora porque todo inteiro
tem um correspondente ( ). - Conclusão: Tem inversa, que também é ela própria:
.
- A função fica
Passo 5
Agora, vamos considerar valores de
diferentes de
e
.
- Quando
ou (já que é inteiro, isso significa ): - A função
é injetora porque cada mapeia para um único múltiplo de . - Porém, não é sobrejetora, porque nem todo inteiro pode ser escrito como
. Por exemplo, se , números ímpares não têm pré-imagem. - Conclusão: Não tem inversa.
- A função
Resposta
A função
possui inversa somente para
e
. As funções inversas são:
-
Para
: -
Para
: