Nos Exercícios 25-28, determine os valores de
com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
27.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores de
que fazem com que o sistema de equações abaixo:
tenha nenhuma solução, exatamente uma solução ou uma infinidade de soluções. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de sistemas lineares e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes das variáveis nas duas equações:
Aqui, os coeficientes são:
Passo 3
Para saber quantas soluções o sistema tem, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. O determinante (
) de uma matriz 2x2 é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, vamos analisar o determinante:
- Se
: O sistema tem exatamente uma solução. - Se
: O sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo dos termos independentes.
Vamos resolver para
:
Passo 5
Agora, vamos verificar o que ocorre quando
e
.
Caso 1:
Substituindo
na segunda equação:
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
Observamos que a segunda equação se torna idêntica à primeira. Isso significa que as duas equações representam a mesma reta, então há infinitas soluções.
Caso 2:
Substituindo
na segunda equação:
Simplificando dividindo por 2:
Agora temos:
Essas duas equações representam retas paralelas que nunca se intersectam, então não há solução.
Resposta
- Para
: O sistema tem exatamente uma solução. - Para
: O sistema tem infinitas soluções. - Para
: O sistema não tem solução.