Nos Exercícios 25-28, determine os valores de a com os quais o sistema não tem solução, tem exatamente uma solução ou tem uma infinidade de soluções.
27. x+2 y=1
2 x+(a^2-5) y=a-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os valores de x + 2y = 1 2x + (a^2 - 5)y = a - 1 que fazem com que o sistema de equações abaixo:
tenha nenhuma solução, exatamente uma solução ou uma infinidade de soluções. Para resolver isso, vamos utilizar conhecimentos de sistemas lineares e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes das variáveis nas duas equações:
1x + 2y = 1 2x + (a^2 - 5)y = a - 1
Aqui, os coeficientes são:
a11 = 1, a12 = 2, a21 = 2, a22 = a^2 - 5

Passo 3

Para saber quantas soluções o sistema tem, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. O determinante ( De) de uma matriz 2x2 é dado por:
De
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos analisar o determinante:
  1. Se a^2 - 9 = 0 Rightarrow a^2 = 9 Rightarrow a = pm 3 : O sistema tem exatamente uma solução.
  2. Se : O sistema pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo dos termos independentes.
Vamos resolver para :

Passo 5

Agora, vamos verificar o que ocorre quando 2x + (3^2 - 5)y = 3 - 1 Rightarrow 2x + (9 - 5)y = 2 Rightarrow 2x + 4y = 2 e x + 2y = 1 .
Caso 1: 2x + ((-3)^2 - 5)y = -3 - 1 Rightarrow 2x + (9 - 5)y = -4 Rightarrow 2x + 4y = -4
Substituindo x + 2y = -2 na segunda equação:
x + 2y = 1 x + 2y = -2
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
Observamos que a segunda equação se torna idêntica à primeira. Isso significa que as duas equações representam a mesma reta, então há infinitas soluções.
Caso 2:
Substituindo na segunda equação:
Simplificando dividindo por 2:
Agora temos:
Essas duas equações representam retas paralelas que nunca se intersectam, então não há solução.

Resposta

  • Para : O sistema tem exatamente uma solução.
  • Para : O sistema tem infinitas soluções.
  • Para : O sistema não tem solução.

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