Seja f: Z Z12 dada por f(x)=4 x+3.
Obter f^-1(0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função definida por . O exercício pede para encontrarmos , ou seja, todos os inteiros que, quando aplicados na função , resultam em no conjunto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de aritmética modular.

Passo 2

4x + 3 equiv 0 pmod12 representa o conjunto de todos os inteiros que satisfazem a equação:
Nosso objetivo é encontrar todos esses .

Passo 3

Vamos simplificar a congruência:
4x + 3 equiv 0 pmod12 Rightarrow 4x equiv -3 pmod12
Como 4x equiv 9 pmod12 é equivalente a no módulo 12, temos:

Passo 4

Para resolver gcd(4, 12) = 4 , precisamos verificar se existe uma solução. Primeiro, identificamos o máximo divisor comum (MDC) entre o coeficiente de e o módulo:
Para que a congruência tenha solução, o MDC deve dividir o termo independente, ou seja, 4 deve dividir 9. Mas , o que significa que não há solução para essa equação.

Resposta

Portanto, é o conjunto vazio, isto é, não existem inteiros que satisfazem .

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