Seja g: R R dada por
g(x)= x^3-2, & se x <= 0 raizx+1, & se 02
Encontre:
g^-1([-1,5])

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me passou envolve uma função definida por partes, chamada . A gente precisa encontrar todos os valores de que, quando colocados na função , resultam em valores que estão no intervalo . Para resolver isso, vamos analisar cada parte da função separadamente e verificar quais valores de atendem à condição .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na primeira parte da função g(x) = x^3 - 2 quando -1 <= x^3 - 2 <= 5 :
Queremos encontrar os valores de que satisfazem:
Vamos resolver essa desigualdade em duas etapas.

Passo 3

Primeiro, resolvemos a parte esquerda da desigualdade:
x^3 - 2 >= -1
Adicionando 2 em ambos os lados:
x^3 >= 1
Agora, tirando a raiz cúbica:
x >= 1
Mas lembrando que nessa parte da função, . Então, estamos procurando valores de que sejam ao mesmo tempo maiores ou iguais a 1 e menores ou iguais a 0. Isso não é possível, já que nenhum número é maior ou igual a 1 e menor ou igual a 0 ao mesmo tempo. Portanto, não existem valores de que satisfaçam .

Passo 4

Agora, vamos analisar a segunda parte da função g(x) = raizx + 1 quando -1 <= raizx + 1 <= 5 :
raizx + 1 <= 5
Queremos que:
x + 1 <= 25
Sabemos que a raiz quadrada sempre resulta em um número não negativo, então a parte esquerda da desigualdade ( x <= 24 ) é sempre verdadeira. Portanto, precisamos apenas resolver:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Subtraindo 1:
Mas, novamente, lembrando que nessa parte da função, . Então, os valores de que satisfazem nessa parte são aqueles que estão no intervalo .

Passo 5

Por último, vamos verificar a terceira parte da função g(x) = 1x - 2 quando -1 <= 1x - 2 <= 5 :
1x - 2 >= -1
Queremos que:
1 >= - (x - 2)
Vamos resolver essas duas desigualdades separadamente.
Primeira desigualdade:
1 >= -x + 2
Multiplicando ambos os lados por x + 1 >= 2 (lembrando que x >= 1 porque 1x - 2 <= 5 ):
1 <= 5(x - 2)
Simplificando:
1 <= 5x - 10
Adicionando 11 <= 5x em ambos os lados:
x >= 115 = 2.2
Subtraindo 1:
Mas como , essa condição é sempre verdadeira para essa parte da função.
Segunda desigualdade:
Multiplicando ambos os lados por (positivo):
Simplificando:
Adicionando 10:
Dividindo por 5:
Como , os valores de que satisfazem essa condição estão no intervalo .

Resposta

Juntando tudo, os valores de x in (0, 2] cup [2.2, infty) que satisfazem são:

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