Determinar a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do
relação às bases indicadas:
a)
e base canônica;
b)
e base
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a representação matricial de certos operadores em
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com transformações lineares e como elas podem ser representadas por matrizes. Para isso, vamos precisar entender como a transformação age nos vetores e quais são as bases que estão sendo usadas.
Passo 2
Vamos começar com a parte a):
e a base canônica.
Primeiro, a base canônica em
é formada pelos vetores
e
. Isso significa que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Para encontrar a representação matricial da transformação
, a gente precisa ver como ela atua nos vetores da base canônica.
-
Aplicar
no primeiro vetor da base canônica : -
Aplicar
no segundo vetor da base canônica :
Agora, a matriz da transformação
será formada pelas imagens desses vetores, organizadas em colunas:
Passo 3
Agora vamos para a parte b):
e a base
.
Aqui, a base não é a canônica, então precisamos adaptar o processo. A base
é composta pelos vetores
e
.
Para encontrar a matriz dessa transformação na base
, seguimos estes passos:
-
Encontrar as coordenadas das imagens dos vetores da base
na própria base : a. Aplicarno primeiro vetor da base : Agora, precisamos expressarcomo combinação linear dos vetores da base : Isso resulta no sistema:Resolvendo:- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda:
- Então,
Portanto,
b. Aplicarno segundo vetor da base : Expressandocomo combinação linear dos vetores da base : Sistema:Resolvendo:- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda:
- Então,
Portanto,
- Da primeira equação:
-
Montar a matriz da transformação na base
com os coeficientes encontrados:
Resposta
a) A matriz representativa de
na base canônica é:
b) A matriz representativa de
na base
é: