Determinar a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do relação às bases indicadas:
a) e base canônica;
b) e base .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a representação matricial de certos operadores em . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com transformações lineares e como elas podem ser representadas por matrizes. Para isso, vamos precisar entender como a transformação age nos vetores e quais são as bases que estão sendo usadas.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): e a base canônica.
Primeiro, a base canônica em é formada pelos vetores e . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Para encontrar a representação matricial da transformação , a gente precisa ver como ela atua nos vetores da base canônica.
  1. Aplicar no primeiro vetor da base canônica :
  2. Aplicar no segundo vetor da base canônica :
Agora, a matriz da transformação será formada pelas imagens desses vetores, organizadas em colunas:

Passo 3

Agora vamos para a parte b): e a base .
Aqui, a base não é a canônica, então precisamos adaptar o processo. A base é composta pelos vetores e .
Para encontrar a matriz dessa transformação na base , seguimos estes passos:
  1. Encontrar as coordenadas das imagens dos vetores da base na própria base :
    a. Aplicar no primeiro vetor da base :
    Agora, precisamos expressar como combinação linear dos vetores da base :
    Isso resulta no sistema:
    Resolvendo:
    • Da primeira equação:
    • Substituindo na segunda:
    • Então,
      Portanto,
    b. Aplicar no segundo vetor da base :
    Expressando como combinação linear dos vetores da base :
    Sistema:
    Resolvendo:
    • Da primeira equação:
    • Substituindo na segunda:
    • Então,
      Portanto,
  2. Montar a matriz da transformação na base com os coeficientes encontrados:

Resposta

a) A matriz representativa de na base canônica é:
b) A matriz representativa de na base é:

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Calcule o determinante da matriz .
Dada as matrizes:
e
Calcular
Verificar se a matriz é inversível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa:
Mostre que os vetores e são linearmente independentes.