Determinar a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do relação às bases indicadas:
a) e base canônica;
b) e base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a representação matricial de certos operadores em . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com transformações lineares e como elas podem ser representadas por matrizes. Para isso, vamos precisar entender como a transformação age nos vetores e quais são as bases que estão sendo usadas.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): e a base canônica.
Primeiro, a base canônica em é formada pelos vetores e . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Para encontrar a representação matricial da transformação , a gente precisa ver como ela atua nos vetores da base canônica.
Aplicar no primeiro vetor da base canônica :
Aplicar no segundo vetor da base canônica :
Agora, a matriz da transformação será formada pelas imagens desses vetores, organizadas em colunas:
Passo 3
Agora vamos para a parte b): e a base .
Aqui, a base não é a canônica, então precisamos adaptar o processo. A base é composta pelos vetores e .
Para encontrar a matriz dessa transformação na base , seguimos estes passos:
Encontrar as coordenadas das imagens dos vetores da base na própria base :
a. Aplicar no primeiro vetor da base :
Agora, precisamos expressar como combinação linear dos vetores da base :
Isso resulta no sistema:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Portanto,
b. Aplicar no segundo vetor da base :
Expressando como combinação linear dos vetores da base :
Sistema:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Então,
Portanto,
Montar a matriz da transformação na base com os coeficientes encontrados: