Determinar a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do R^2 em relação às bases indicadas:
a) F(x, y)=(2 x+3 y-x) e base canônica;
b) F(x, y)=(3 x-4 y, x+5 y) e base B=(1,2),(2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a representação matricial de certos operadores em . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde trabalhamos com transformações lineares e como elas podem ser representadas por matrizes. Para isso, vamos precisar entender como a transformação age nos vetores e quais são as bases que estão sendo usadas.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): F(1, 0) = (2(1) + 3(0), -1) = (2, -1) e a base canônica.
Primeiro, a base canônica em F(0, 1) = (2(0) + 3(1), -0) = (3, 0) é formada pelos vetores 2 & 3 -1 & 0 e . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores.
Para encontrar a representação matricial da transformação , a gente precisa ver como ela atua nos vetores da base canônica.
  1. Aplicar no primeiro vetor da base canônica :
  2. Aplicar no segundo vetor da base canônica :
Agora, a matriz da transformação será formada pelas imagens desses vetores, organizadas em colunas:

Passo 3

Agora vamos para a parte b): F(1, 2) = (3(1) - 4(2), 1 + 5(2)) = (3 - 8, 1 + 10) = (-5, 11) e a base (-5, 11) = a(1, 2) + b(2, 3) .
Aqui, a base não é a canônica, então precisamos adaptar o processo. A base a + 2b = -5 2a + 3b = 11 é composta pelos vetores F(2, 3) = (3(2) - 4(3), 2 + 5(3)) = (6 - 12, 2 + 15) = (-6, 17) e (-6, 17) = c(1, 2) + d(2, 3) .
Para encontrar a matriz dessa transformação na base c + 2d = -6 2c + 3d = 17 , seguimos estes passos:
  1. Encontrar as coordenadas das imagens dos vetores da base 37 & 52 -21 & -29 na própria base :
    a. Aplicar no primeiro vetor da base :
    Agora, precisamos expressar como combinação linear dos vetores da base :
    Isso resulta no sistema:
    Resolvendo:
    • Da primeira equação:
    • Substituindo na segunda:
    • Então,
      Portanto,
    b. Aplicar no segundo vetor da base :
    Expressando como combinação linear dos vetores da base :
    Sistema:
    Resolvendo:
    • Da primeira equação:
    • Substituindo na segunda:
    • Então,
      Portanto,
  2. Montar a matriz da transformação na base com os coeficientes encontrados:

Resposta

a) A matriz representativa de 2 & 3 -1 & 0 na base canônica é:
37 & 52 -21 & -29
b) A matriz representativa de na base é:

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