Verificar se a matriz é inversível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa:
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui. A gente precisa verificar se a matriz é inversível. Se for, a gente tem que achar a inversa dela. O conteúdo que vamos usar aqui é de Matrizes e Inversibilidade. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se for diferente de zero, calcular a inversa usando a fórmula da matriz adjunta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz C = 2 & 1 & 3 0 & 1 & 4 1 & 0 & 2 . O determinante nos diz se a matriz tem inversa. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofactores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Calculando:
det(C) = 2 cdot 2 - 1 cdot (-4) + 3 cdot (-1)
det(C) = 4 + 4 - 3 = 5
Como o determinante é 5, que é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 3
Agora que sabemos que a matriz C^-1 = 1det(C) cdot adj(C) é inversível, vamos calcular a inversa dela. Para isso, usaremos a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante.
A fórmula é:
1 & 4 0 & 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores de 0 & 4 1 & 2.
Calculando os cofatores:
Cofator 0 & 1 1 & 0
Cofator 1 & 3 0 & 2
Cofator 2 & 3 1 & 2
Cofator 2 & 1 1 & 0
Cofator 1 & 3 1 & 4
Cofator 2 & 3 0 & 4
Cofator 2 & 1 0 & 1
Cofator Cof(C) = 2 & 4 & -1 -2 & 1 & 1 1 & -8 & 2
Cofator adj(C) = 2 & -2 & 1 4 & 1 & -8 -1 & 1 & 2
Agora, organizamos os cofatores na matriz de cofatores:
C^-1 = 15 2 & -2 & 1 4 & 1 & -8 -1 & 1 & 2
Em seguida, encontramos a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores:
C^-1 = 25 & -25 & 15 45 & 15 & -85 -15 & 15 & 25
Finalmente, dividimos a matriz adjunta pelo determinante para obter a inversa:
Resposta
A matriz C^-1 = 25 & -25 & 15 45 & 15 & -85 -15 & 15 & 25 é inversível e sua inversa é: