Verificar se a matriz é inversível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa:

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a gente tem aqui. A gente precisa verificar se a matriz é inversível. Se for, a gente tem que achar a inversa dela. O conteúdo que vamos usar aqui é de Matrizes e Inversibilidade. Para isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se for diferente de zero, calcular a inversa usando a fórmula da matriz adjunta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz . O determinante nos diz se a matriz tem inversa. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
A matriz é:
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofactores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Calculando:
Como o determinante é 5, que é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 3

Agora que sabemos que a matriz é inversível, vamos calcular a inversa dela. Para isso, usaremos a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante.
A fórmula é:
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores de .
Calculando os cofatores:
  • Cofator
  • Cofator
  • Cofator
  • Cofator
  • Cofator
  • Cofator
  • Cofator
  • Cofator
  • Cofator
Agora, organizamos os cofatores na matriz de cofatores:
Em seguida, encontramos a matriz adjunta, que é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, dividimos a matriz adjunta pelo determinante para obter a inversa:

Resposta

A matriz é inversível e sua inversa é:

Exercícios relacionados

Determinar a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do relação às bases indicadas:
a) e base canônica;
b) e base .
Calcule o determinante da matriz .
Mostre que os vetores e são linearmente independentes.
Mostre que os vetores e são linearmente independentes.