Mostre que os vetores e são linearmente independentes.

Passo 1

Então, a gente tem esse exercício que pede para mostrar que os vetores , e em são linearmente independentes. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e aplicar esse conceito para verificar se a combinação linear dos vetores resulta apenas no vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos vetores , , , eles são linearmente independentes se a equação:
tiver somente a solução trivial .

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. A ideia é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as equações simultaneamente.

Passo 5

Da primeira equação:
Da segunda equação:

Passo 6

Agora, substituímos e na terceira equação:

Passo 7

A última equação nos não dá nova informação, apenas confirma que as relações anteriores são consistentes. Então, temos:
Isso significa que todos os coeficientes são múltiplos de . Para que a única solução seja , devemos ter , o que leva a e .

Resposta

Portanto, a única solução para o sistema é , o que demonstra que os vetores , e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Verificar se a matriz é inversível e, em caso afirmativo, determinar sua inversa:
Determinar a representação matricial de cada um dos seguintes operadores do relação às bases indicadas:
a) e base canônica;
b) e base .
Mostre que os vetores e são linearmente independentes.
Determine se os conjuntos indicados abaixo, juntamente com as operações usuais, é um espaço vetorial. Se não o for, identifique pelo menos um dos dez axiomas de espaço vetorial que não é valido. Atribua um contraexemplo para cada axioma não válido: