Mostre que os vetores e são linearmente independentes.
Passo 1
Então, a gente tem esse exercício que pede para mostrar que os vetores , e em são linearmente independentes. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e aplicar esse conceito para verificar se a combinação linear dos vetores resulta apenas no vetor nulo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos vetores , , , eles são linearmente independentes se a equação:
tiver somente a solução trivial .
Passo 3
Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. A ideia é encontrar os valores de , e que satisfazem todas as equações simultaneamente.
Passo 5
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 6
Agora, substituímos e na terceira equação:
Passo 7
A última equação nos não dá nova informação, apenas confirma que as relações anteriores são consistentes. Então, temos:
Isso significa que todos os coeficientes são múltiplos de . Para que a única solução seja , devemos ter , o que leva a e .
Resposta
Portanto, a única solução para o sistema é , o que demonstra que os vetores , e são linearmente independentes.