Mostre que os vetores (-1,0,1),(0,1,2) e (1,2,3) in R^3 são linearmente independentes.

Passo 1

Então, a gente tem esse exercício que pede para mostrar que os vetores (-1,0,1), (0,1,2) e (1,2,3) em R^3 são linearmente independentes. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre dependência e independência linear de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e aplicar esse conceito para verificar se a combinação linear dos vetores resulta apenas no vetor nulo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente independentes. Vetores são linearmente independentes se a única combinação linear que resulta no vetor nulo é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se temos vetores v1, v2, v3, eles são linearmente independentes se a equação:
c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0
tiver somente a solução trivial c1 = c2 = c3 = 0.

Passo 3

Vamos aplicar isso aos nossos vetores:
c1(-1,0,1) + c2(0,1,2) + c3(1,2,3) = (0,0,0)
Isso resulta no sistema de equações:
- c1 + 0 cdot c2 + c3 = 0 0 cdot c1 + c2 + 2c3 = 0 c1 + 2c2 + 3c3 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. A ideia é encontrar os valores de c1, c2 e c3 que satisfazem todas as equações simultaneamente.

Passo 5

Da primeira equação:
- c1 + c3 = 0 implies c1 = c3
Da segunda equação:
c2 + 2c3 = 0 implies c2 = -2c3

Passo 6

Agora, substituímos c1 e c2 na terceira equação:
c1 + 2c2 + 3c3 = 0 c3 + 2(-2c3) + 3c3 = 0 c3 - 4c3 + 3c3 = 0 0 = 0

Passo 7

A última equação nos não dá nova informação, apenas confirma que as relações anteriores são consistentes. Então, temos:
c1 = c3 c2 = -2c3
Isso significa que todos os coeficientes são múltiplos de c3. Para que a única solução seja c1 = c2 = c3 = 0, devemos ter c3 = 0, o que leva a c1 = 0 e c2 = 0.

Resposta

Portanto, a única solução para o sistema é c1 = c2 = c3 = 0, o que demonstra que os vetores (-1,0,1), (0,1,2) e (1,2,3) são linearmente independentes.

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