Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem da função
. Isso envolve entender onde a função está definida (Domínio) e quais valores ela pode assumir (Imagem). Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos de funções de duas variáveis, raízes quadradas e logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o Domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está bem definida. Olhando para
, sabemos que o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero, ou seja:
Isso garante que a raiz quadrada não tenha problema.
Passo 3
Agora, vamos considerar o
. O logaritmo natural só funciona para argumentos positivos, então temos:
Essas duas condições precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo para que
esteja definida.
Passo 4
Vamos resumir as duas condições:
Precisamos encontrar os pares
que satisfazem ambas as inequações. Para isso, podemos resolver o sistema de inequações.
Passo 5
Da segunda condição
, podemos isolar
:
Agora temos:
Essas duas restrições nos dizem que
deve ser maior ou igual a
e também maior que
.
Passo 6
Para representar isso graficamente, vamos desenhar no plano
:
- A linha
e considerar a região acima dela (incluindo a linha). - A linha
e considerar a região acima dessa linha (sem incluir a linha, já que é estritamente maior).
A interseção dessas regiões será o domínio da função.
Passo 7
Agora, vamos falar sobre a Imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Como
é o produto de
e
, precisamos entender os possíveis valores de cada parte.
Passo 8
O termo
é sempre não negativo, já que é uma raiz quadrada. Ou seja:
Já o
pode ser qualquer número real, já que
:
Passo 9
Multiplicando os dois termos, temos:
Como
e
pode ser positivo, negativo ou zero, o produto
pode assumir qualquer valor real, dependendo dos valores de
e
.
Passo 10
Assim, concluímos que:
- Domínio:
- Imagem:
(todos os números reais)
Passo 11
Para representar graficamente:
- Desenhe as linhas
e no plano . - O domínio será a região onde
e , ou seja, a área acima de e acima de .
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem
e
. A imagem da função é todo o conjunto dos números reais
.
Exercícios relacionados
Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:
Desenhar as curvas de nível
para os valores de
dado:
Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:
Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: