Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: f(x, y) = raiz(y - x) * ln(x + y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem da função . Isso envolve entender onde a função está definida (Domínio) e quais valores ela pode assumir (Imagem). Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos de funções de duas variáveis, raízes quadradas e logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o Domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está bem definida. Olhando para , sabemos que o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero, ou seja:
Isso garante que a raiz quadrada não tenha problema.

Passo 3

Agora, vamos considerar o . O logaritmo natural só funciona para argumentos positivos, então temos:
Essas duas condições precisam ser satisfeitas ao mesmo tempo para que esteja definida.

Passo 4

Vamos resumir as duas condições:
Precisamos encontrar os pares que satisfazem ambas as inequações. Para isso, podemos resolver o sistema de inequações.

Passo 5

Da segunda condição , podemos isolar :
Agora temos:
Essas duas restrições nos dizem que deve ser maior ou igual a e também maior que .

Passo 6

Para representar isso graficamente, vamos desenhar no plano :
  • A linha e considerar a região acima dela (incluindo a linha).
  • A linha e considerar a região acima dessa linha (sem incluir a linha, já que é estritamente maior).
A interseção dessas regiões será o domínio da função.

Passo 7

Agora, vamos falar sobre a Imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Como é o produto de e , precisamos entender os possíveis valores de cada parte.

Passo 8

O termo é sempre não negativo, já que é uma raiz quadrada. Ou seja:
Já o pode ser qualquer número real, já que :

Passo 9

Multiplicando os dois termos, temos:
Como e pode ser positivo, negativo ou zero, o produto pode assumir qualquer valor real, dependendo dos valores de e .

Passo 10

Assim, concluímos que:
  • Domínio:
  • Imagem: (todos os números reais)

Passo 11

Para representar graficamente:
  • Desenhe as linhas e no plano .
  • O domínio será a região onde e , ou seja, a área acima de e acima de .

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pares que satisfazem e . A imagem da função é todo o conjunto dos números reais .

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