Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis aí:
. O que precisamos fazer é descobrir qual é o domínio dessa função e qual é a sua imagem, ou seja, todos os valores que ela pode assumir. Além disso, vamos entender como essa função se comporta graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores das variáveis de entrada, no caso,
e
, para os quais a função está definida.
Olha só: Na nossa função, a gente tem exponenciais e quadrados. A função exponencial
está definida para todo número real
. E os quadrados
e
também estão definidos para qualquer valor real de
e
. Não tem restrição aqui!
Passo 3
Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode realmente assumir quando o domínio é todo explorado.
Pensando bem,
é sempre uma exponencial de um número negativo ou zero, já que
é sempre maior ou igual a zero. Sabemos que:
-
-
com está entre 0 e 1, e nunca chega a ser zero.
Então, a imagem vai ser todos os números reais que estão entre 0 e 1, exclusivo de zero e inclusivo de 1.
Passo 4
Por último, vamos imaginar como fica o gráfico dessa função. Como a função depende de
e
e envolve
, ela é simétrica em relação ao ponto (0,0). O valor máximo é 1 no centro, e vai decrescendo conforme nos afastamos desse ponto, formando uma espécie de “morrete” que fica cada vez mais fina conforme nos afastamos.
Resposta
- Domínio:
(todos os pares ordenados de números reais). - Imagem:
(todos os números reais maiores que 0 e até 1).
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para os valores de
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