Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis aí: . O que precisamos fazer é descobrir qual é o domínio dessa função e qual é a sua imagem, ou seja, todos os valores que ela pode assumir. Além disso, vamos entender como essa função se comporta graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio. O domínio de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores das variáveis de entrada, no caso, e , para os quais a função está definida.
Olha só: Na nossa função, a gente tem exponenciais e quadrados. A função exponencial está definida para todo número real . E os quadrados e também estão definidos para qualquer valor real de e . Não tem restrição aqui!

Passo 3

Agora, vamos para a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode realmente assumir quando o domínio é todo explorado.
Pensando bem, é sempre uma exponencial de um número negativo ou zero, já que é sempre maior ou igual a zero. Sabemos que:
  • com está entre 0 e 1, e nunca chega a ser zero.
Então, a imagem vai ser todos os números reais que estão entre 0 e 1, exclusivo de zero e inclusivo de 1.

Passo 4

Por último, vamos imaginar como fica o gráfico dessa função. Como a função depende de e e envolve , ela é simétrica em relação ao ponto (0,0). O valor máximo é 1 no centro, e vai decrescendo conforme nos afastamos desse ponto, formando uma espécie de “morrete” que fica cada vez mais fina conforme nos afastamos.

Resposta

  • Domínio: (todos os pares ordenados de números reais).
  • Imagem: (todos os números reais maiores que 0 e até 1).

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