Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que você me enviou é uma equação diferencial com condição inicial:
A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente resolvendo uma equação separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever na forma
.
Dada a equação:
Como
, podemos reescrever como:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para separar as variáveis:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia é encontrar as antiderivadas de cada lado.
Integral do lado esquerdo:
Integral do lado direito:
Passo 4
Vamos calcular cada integral passo a passo.
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 5
Agora, igualamos as integrais (ignorando as constantes de integração por enquanto):
Onde
é uma constante geral.
Passo 6
Usamos a condição inicial para encontrar o valor de
. A condição dada é
.
Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação geral:
Para encontrar
em função de
, reescrevemos a equação:
Isso é uma equação quadrática em
. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara.
Passo 8
A equação quadrática é:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 9
Agora, usamos a condição inicial
para determinar qual sinal escolher. Substituindo
:
Para que a igualdade seja verdadeira:
Portanto, escolhemos o sinal negativo.
Resposta
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dado: