Resolva os seguintes problemas de valor inicial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que você me enviou é uma equação diferencial com condição inicial:
A matéria que estamos lidando aqui é Equações Diferenciais Ordinárias (EDO), especificamente resolvendo uma equação separável. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é separável. Uma equação é separável se conseguimos escrever na forma .
Dada a equação:
Como , podemos reescrever como:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por para separar as variáveis:

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A ideia é encontrar as antiderivadas de cada lado.
Integral do lado esquerdo:
Integral do lado direito:

Passo 4

Vamos calcular cada integral passo a passo.
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:

Passo 5

Agora, igualamos as integrais (ignorando as constantes de integração por enquanto):
Onde é uma constante geral.

Passo 6

Usamos a condição inicial para encontrar o valor de . A condição dada é .
Substituindo e na equação:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos na equação geral:
Para encontrar em função de , reescrevemos a equação:
Isso é uma equação quadrática em . Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 8

A equação quadrática é:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando dentro da raiz:

Passo 9

Agora, usamos a condição inicial para determinar qual sinal escolher. Substituindo :
Para que a igualdade seja verdadeira:
Portanto, escolhemos o sinal negativo.

Resposta

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