Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo problema de valor inicial. A equação dada é
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos fatores integrantes, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Vamos dividir ambos os lados por
para isolar
:
Aqui, usamos a identidade trigonométrica
e
.
Passo 3
Agora, identificamos
e
na forma padrão da equação linear
. Nesse caso:
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
A integral de
é
, então:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral de
é
, então:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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que tornam exata a equação diferencial
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