Resolva os seguintes problemas de valor inicial: (cos x) y' - (sen x) y = 1, y(2 pi) = pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo problema de valor inicial. A equação dada é com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos fatores integrantes, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Vamos dividir ambos os lados por cos(x) para isolar :
Aqui, usamos a identidade trigonométrica e .

Passo 3

Agora, identificamos P(x) e Q(x) na forma padrão da equação linear . Nesse caso:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
A integral de é , então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a x:
A integral de cos(x) é sen x, então:

Passo 7

Isolando y:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de C:
Sabemos que e , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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