Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções: f(x, y) = arcsin(y - x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e desenhar graficamente o Domínio e a Imagem da função . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre a função arco seno ( ) e entender onde ela está definida e quais valores ela pode assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função arco seno ( ). A está definida apenas para valores de que estejam entre e , ou seja:
Isso significa que, para a nossa função , o argumento precisa satisfazer:

Passo 3

Agora, vamos analisar essas desigualdades para encontrar o Domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares que fazem a função estar bem definida. Então, temos:
Podemos reescrever isso de duas maneiras:
  1. que dá
  2. que dá

Passo 4

Com essas duas inequações, podemos representar graficamente o domínio. Vamos desenhar as linhas:
Essas linhas são paralelas e definem uma “faixa” onde os pares estão dentro desse intervalo. O domínio da função são todos os pontos que estão entre essas duas linhas, incluindo as próprias linhas.

Passo 5

Agora, vamos falar sobre a Imagem da função . A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Sabemos que a função arco seno ( ) tem seu conjunto imagem em:
Portanto, a imagem da nossa função também será:

Resposta

Domínio: Todos os pares que satisfazem .
Imagem: Todos os valores reais de entre e .
Graficamente, o domínio é a região entre as retas e , e a imagem é o intervalo .

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