Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e desenhar graficamente o Domínio e a Imagem da função
. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre a função arco seno (
) e entender onde ela está definida e quais valores ela pode assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função arco seno (
). A
está definida apenas para valores de
que estejam entre
e
, ou seja:
Isso significa que, para a nossa função
, o argumento
precisa satisfazer:
Passo 3
Agora, vamos analisar essas desigualdades para encontrar o Domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
que fazem a função estar bem definida. Então, temos:
Podemos reescrever isso de duas maneiras:
-
que dá -
que dá
Passo 4
Com essas duas inequações, podemos representar graficamente o domínio. Vamos desenhar as linhas:
Essas linhas são paralelas e definem uma “faixa” onde os pares
estão dentro desse intervalo. O domínio da função são todos os pontos que estão entre essas duas linhas, incluindo as próprias linhas.
Passo 5
Agora, vamos falar sobre a Imagem da função
. A imagem é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Sabemos que a função arco seno (
) tem seu conjunto imagem em:
Portanto, a imagem da nossa função também será:
Resposta
Domínio: Todos os pares
que satisfazem
.
Imagem: Todos os valores reais de
entre
e
.
Graficamente, o domínio é a região entre as retas
e
, e a imagem é o intervalo
.