Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o exercício de determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem da função . Isso envolve entender de onde os valores de e podem vir (domínio) e quais valores pode assumir (imagem). Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e gráfico de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o Domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares onde a função está definida. Olhando para a nossa função , percebemos que temos um denominador . Sabemos que a divisão por zero não é permitida na matemática, então precisamos garantir que .

Passo 3

Resolvendo , temos que não pode ser zero. Portanto, o domínio da função é todos os pares onde é qualquer número real exceto zero, e pode ser qualquer número real. Em termos matemáticos:
í

Passo 4

Agora, vamos representar graficamente o Domínio. No plano , o domínio corresponde a todo o plano menos a linha onde (que é o eixo ). Então, vamos desenhar o plano cartesiano e simplesmente destacar que não pode ser zero, ou seja, a linha do eixo não faz parte do domínio.

Passo 5

Seguimos para a Imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Nossa função é . Sabemos que é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo ou zero, mas como , é sempre positivo. O valor de pode ser qualquer número real, positivo ou negativo.

Passo 6

Como pode variar livremente e é sempre positivo, a fração também pode assumir qualquer valor real. Se for positivo, será positivo; se for negativo, será negativo; e se , . Portanto, a imagem da função é todo o conjunto dos números reais.

Passo 7

Graficamente, a imagem representa todos os possíveis valores de , que no caso é toda a reta numérica de números reais. Não há restrições, então a imagem cobre todo o eixo vertical dos valores de .

Resposta

Domínio: Todos os pares onde .
Imagem: Todos os números reais .
Graficamente, o domínio é o plano sem o eixo , e a imagem abrange toda a reta dos números reais.

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Sejam e e e . Verifique que , onde , com e .
Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:
(a) Mostre que as equações paramétricas ,
sen sen , representam um elipsoide.
(b) Use as equações paramétricas da parte (a) para traçar o gráfico do elipsoide para o caso .
© Determine, mas não calcule, uma integral dupla que dá a área de superfície da parte do elipsoide da parte (b).