Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o exercício de determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem da função
. Isso envolve entender de onde os valores de
e
podem vir (domínio) e quais valores
pode assumir (imagem). Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra e gráfico de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o Domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
onde a função está definida. Olhando para a nossa função
, percebemos que temos um denominador
. Sabemos que a divisão por zero não é permitida na matemática, então precisamos garantir que
.
Passo 3
Resolvendo
, temos que
não pode ser zero. Portanto, o domínio da função é todos os pares
onde
é qualquer número real exceto zero, e
pode ser qualquer número real. Em termos matemáticos:
Passo 4
Agora, vamos representar graficamente o Domínio. No plano
, o domínio corresponde a todo o plano menos a linha onde
(que é o eixo
). Então, vamos desenhar o plano cartesiano e simplesmente destacar que
não pode ser zero, ou seja, a linha do eixo
não faz parte do domínio.
Passo 5
Seguimos para a Imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Nossa função é
. Sabemos que
é sempre positivo, já que qualquer número ao quadrado é positivo ou zero, mas como
,
é sempre positivo. O valor de
pode ser qualquer número real, positivo ou negativo.
Passo 6
Como
pode variar livremente e
é sempre positivo, a fração
também pode assumir qualquer valor real. Se
for positivo,
será positivo; se
for negativo,
será negativo; e se
,
. Portanto, a imagem da função é todo o conjunto dos números reais.
Passo 7
Graficamente, a imagem representa todos os possíveis valores de
, que no caso é toda a reta numérica de números reais. Não há restrições, então a imagem cobre todo o eixo vertical dos valores de
.
Resposta
Domínio: Todos os pares
onde
.
Imagem: Todos os números reais
.
Graficamente, o domínio é o plano
sem o eixo
, e a imagem abrange toda a reta dos números reais.
Exercícios relacionados
Desenhar as curvas de nível
para os valores de
dado:
Sejam
e
e
e
. Verifique que
, onde
, com
e
.
Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:
(a) Mostre que as equações paramétricas
,
sen
sen
, representam um elipsoide.
(b) Use as equações paramétricas da parte (a) para traçar o gráfico do elipsoide para o caso .
© Determine, mas não calcule, uma integral dupla que dá a área de superfície da parte do elipsoide da parte (b).
(b) Use as equações paramétricas da parte (a) para traçar o gráfico do elipsoide para o caso
© Determine, mas não calcule, uma integral dupla que dá a área de superfície da parte do elipsoide da parte (b).