Beleza, vamos lá! O enunciado pede para trabalharmos com equações paramétricas que descrevem um elipsoide. A matéria aqui envolve geometria analítica, especificamente a representação de superfícies tridimensionais usando equações paramétricas. Para resolver esse exercício, vamos precisar entender o que define um elipsoide e como relacionar as equações paramétricas a essa forma geométrica.
Passo 2
Parte (a)
Primeiro, vamos mostrar que as equações paramétricas dadas representam realmente um elipsoide. Um elipsoide é definido pela equação geral:
As equações paramétricas fornecidas são:
Vamos substituir essas expressões na equação geral do elipsoide:
Simplificando cada termo:
Como a soma dá 1, as equações paramétricas satisfazem a equação do elipsoide. Portanto, elas representam um elipsoide.
Passo 3
Parte (b)
Agora, vamos traçar o gráfico do elipsoide para os valores específicos , e . Substituindo esses valores nas equações paramétricas, temos:
Para desenhar o gráfico, variamos de a e de a . Esses intervalos cobrem todos os pontos necessários para formar a superfície do elipsoide com semi-eixos de comprimento 1, 2 e 3 nas direções x, y e z, respectivamente. Assim, o gráfico resultante será um elipsoide alongado ao longo do eixo z, mais largo no eixo y e estreito no eixo x.
Por último, vamos determinar, mas não calcular, uma integral dupla que representa a área de superfície do elipsoide descrito na parte (b). A fórmula geral para a área de superfície de uma superfície paramétrica é:
Onde .
Para nosso caso:
Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial dessas derivadas dá o vetor normal à superfície, e seu módulo representa o fator de escala para a área. Portanto, a integral dupla para a área de superfície é:
Essa é a integral que precisamos, mas conforme solicitado, não vamos calcular seu valor.
Resposta
(a) As equações paramétricas representam um elipsoide.
(b) O gráfico do elipsoide para , , é formado pelas equações , , , com e .