Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem da função . Estamos lidando com funções de duas variáveis e precisamos entender onde a função está definida (domínio) e quais valores a função pode assumir (imagem).

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, e ) para os quais a função está definida. Para , precisamos garantir que a expressão dentro da função seja válida.

Passo 3

A função está definida para todos os números reais . Então, não há restrições sobre o valor de , exceto que o denominador não pode ser zero, já que divisão por zero não é permitida. Portanto, a única restrição para é que .

Passo 4

Então, o domínio da função é todos os pares onde é diferente de zero. Em termos matemáticos:

Passo 5

Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores de saída que pode assumir. A função retorna valores no intervalo . Então, independentemente dos valores de e (desde que ), sempre estará entre e .

Passo 6

Portanto, a imagem da função é:

Passo 7

Para a representação gráfica, o domínio é todo o plano exceto a linha onde (o eixo ). Isso porque, quando , a função não está definida. Já a imagem é um intervalo aberto no eixo vertical representando todos os valores que pode assumir.

Resposta

  • Domínio:
  • Imagem:

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Desenhar as curvas de nível para os valores de dado:
(a) Mostre que as equações paramétricas ,
sen sen , representam um elipsoide.
(b) Use as equações paramétricas da parte (a) para traçar o gráfico do elipsoide para o caso .
© Determine, mas não calcule, uma integral dupla que dá a área de superfície da parte do elipsoide da parte (b).
,
é o limite da região delimitada pelo cilindro pelos planos e