integral duplaS x z d S,
S é o limite da região delimitada pelo cilindro y^2+z^2=9 e pelos planos x=0 e x+y=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de superfície integral duplaS x z , dS, onde S é a superfície que forma os limites da região definida pelo cilindro y^2 + z^2 = 9 e pelos planos x = 0 e x + y = 5. A matéria aqui envolve cálculo de integrais de superfície em geometria tridimensional. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular dS, que é o elemento de área da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região. O cilindro y^2 + z^2 = 9 tem raio 3 e é paralelo ao eixo x. Os planos x = 0 e x + y = 5 vão cortar esse cilindro, criando uma espécie de “fatias” na forma do cilindro.

Passo 3

A superfície S que a gente precisa considerar é composta por três partes:
  1. Superfície lateral do cilindro entre x = 0 e x + y = 5.
  2. Plano x = 0 dentro do cilindro.
  3. Plano x + y = 5 dentro do cilindro.
Vamos calcular a integral em cada uma dessas partes separadamente e depois somar os resultados.

Passo 4

1. Superfície lateral do cilindro:
Para parametrizar a superfície lateral do cilindro, usamos coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
y = 3 cos theta z = 3 sin theta
Onde theta varia de 0 a 2pi. O valor de x vai de 0 até 5 - y = 5 - 3 cos theta.
O elemento de área dS para a superfície lateral do cilindro é:
dS = R , dtheta , dx = 3 , dtheta , dx
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^5 - 3 cos theta x z cdot 3 , dx , dtheta
Substituindo z = 3 sin theta:
3 integral0^2pi integral0^5 - 3 cos theta x cdot 3 sin theta , dx , dtheta = 9 integral0^2pi sin theta integral0^5 - 3 cos theta x , dx , dtheta
Calculando a integral interna:
integral0^5 - 3 cos theta x , dx = [ x^22 ]0^5 - 3 cos theta = (5 - 3 cos theta)^22
Então, a integral fica:
9 integral0^2pi sin theta cdot (5 - 3 cos theta)^22 , dtheta = 92 integral0^2pi sin theta (25 - 30 cos theta + 9 cos^2 theta) , dtheta
Explicando rapidamente: toda essa parte é sobre multiplicar e integrar funções trigonométricas, que pode ser simplificada usando identidades trigonométricas.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral resultante:
92 integral0^2pi [25 sin theta - 30 sin theta cos theta + 9 sin theta cos^2 theta] , dtheta
Sabemos que a integral de sin theta de 0 a 2pi é zero, assim como a integral de sin theta cos theta e sin theta cos^2 theta. Portanto, toda essa parte resulta em zero.
Conclusão para a superfície lateral: A contribuição dessa parte é zero.

Passo 6

2. Plano x = 0:
No plano x = 0, estamos na superfície onde x = 0. A integral é:
integral dupla x z , dS = integral dupla 0 cdot z , dS = 0
Pois x = 0, o que anula toda a expressão.

Passo 7

3. Plano x + y = 5:
Neste plano, podemos expressar x em função de y: x = 5 - y.
Aqui, a superfície está dentro do cilindro y^2 + z^2 = 9. Podemos usar coordenadas polares para y e z:
y = 3 cos theta z = 3 sin theta
O elemento de área dS no plano é:
dS = raiz( partial xpartial y )^2 + ( partial xpartial z )^2 + 1 , dy , dz
Como x = 5 - y, temos partial xpartial y = -1 e partial xpartial z = 0. Então:
dS = raiz1 + 1^2 , dy , dz = raiz2 , dy , dz
A integral fica:
integral dupla x z , dS = integral dupla (5 - y) z raiz2 , dy , dz
Usando coordenadas polares:
y = 3 cos theta z = 3 sin theta dy , dz = 9 , dtheta , dr (mas aqui $r = 3$ é constante) é
Substituindo:
raiz2 integral0^2pi (5 - 3 cos theta) cdot 3 sin theta cdot 3 , dtheta = 27 raiz2 integral0^2pi (5 sin theta - 3 sin theta cos theta) , dtheta
Mais uma vez, as integrais de sin theta e sin theta cos theta de 0 a 2pi são zero. Portanto, essa parte também resulta em zero.

Resposta

A integral integral duplaS x z , dS é igual a 0.

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