,
é o limite da região delimitada pelo cilindro pelos planos e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de superfície , onde é a superfície que forma os limites da região definida pelo cilindro e pelos planos e . A matéria aqui envolve cálculo de integrais de superfície em geometria tridimensional. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular , que é o elemento de área da superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região. O cilindro tem raio 3 e é paralelo ao eixo . Os planos e vão cortar esse cilindro, criando uma espécie de “fatias” na forma do cilindro.

Passo 3

A superfície que a gente precisa considerar é composta por três partes:
  1. Superfície lateral do cilindro entre e .
  2. Plano dentro do cilindro.
  3. Plano dentro do cilindro.
Vamos calcular a integral em cada uma dessas partes separadamente e depois somar os resultados.

Passo 4

1. Superfície lateral do cilindro:
Para parametrizar a superfície lateral do cilindro, usamos coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Onde varia de a . O valor de vai de até .
O elemento de área para a superfície lateral do cilindro é:
Então, a integral fica:
Substituindo :
Calculando a integral interna:
Então, a integral fica:
Explicando rapidamente: toda essa parte é sobre multiplicar e integrar funções trigonométricas, que pode ser simplificada usando identidades trigonométricas.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral resultante:
Sabemos que a integral de de 0 a é zero, assim como a integral de e . Portanto, toda essa parte resulta em zero.
Conclusão para a superfície lateral: A contribuição dessa parte é zero.

Passo 6

2. Plano :
No plano , estamos na superfície onde . A integral é:
Pois , o que anula toda a expressão.

Passo 7

3. Plano :
Neste plano, podemos expressar em função de : .
Aqui, a superfície está dentro do cilindro . Podemos usar coordenadas polares para e :
O elemento de área no plano é:
Como , temos e . Então:
A integral fica:
Usando coordenadas polares:
é
Substituindo:
Mais uma vez, as integrais de e de 0 a são zero. Portanto, essa parte também resulta em zero.

Resposta

A integral é igual a 0.

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(a) Mostre que as equações paramétricas ,
sen sen , representam um elipsoide.
(b) Use as equações paramétricas da parte (a) para traçar o gráfico do elipsoide para o caso .
© Determine, mas não calcule, uma integral dupla que dá a área de superfície da parte do elipsoide da parte (b).
Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:
Seja , encontre a direção no plano xy na qual tem valor máximo.
Mostrar que o valor absoluto da derivada direcional de é independente da direção dada no plano xy.