,
é o limite da região delimitada pelo cilindro
pelos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de superfície
, onde
é a superfície que forma os limites da região definida pelo cilindro
e pelos planos
e
. A matéria aqui envolve cálculo de integrais de superfície em geometria tridimensional. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular
, que é o elemento de área da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região. O cilindro
tem raio 3 e é paralelo ao eixo
. Os planos
e
vão cortar esse cilindro, criando uma espécie de “fatias” na forma do cilindro.
Passo 3
A superfície
que a gente precisa considerar é composta por três partes:
- Superfície lateral do cilindro entre
e . - Plano
dentro do cilindro. - Plano
dentro do cilindro.
Vamos calcular a integral em cada uma dessas partes separadamente e depois somar os resultados.
Passo 4
1. Superfície lateral do cilindro:
Para parametrizar a superfície lateral do cilindro, usamos coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Onde
varia de
a
. O valor de
vai de
até
.
O elemento de área
para a superfície lateral do cilindro é:
Então, a integral fica:
Substituindo
:
Calculando a integral interna:
Então, a integral fica:
Explicando rapidamente: toda essa parte é sobre multiplicar e integrar funções trigonométricas, que pode ser simplificada usando identidades trigonométricas.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral resultante:
Sabemos que a integral de
de 0 a
é zero, assim como a integral de
e
. Portanto, toda essa parte resulta em zero.
Conclusão para a superfície lateral: A contribuição dessa parte é zero.
Passo 6
2. Plano
:
No plano
, estamos na superfície onde
. A integral é:
Pois
, o que anula toda a expressão.
Passo 7
3. Plano
:
Neste plano, podemos expressar
em função de
:
.
Aqui, a superfície está dentro do cilindro
. Podemos usar coordenadas polares para
e
:
O elemento de área
no plano é:
Como
, temos
e
. Então:
A integral fica:
Usando coordenadas polares:
Substituindo:
Mais uma vez, as integrais de
e
de 0 a
são zero. Portanto, essa parte também resulta em zero.
Resposta
A integral
é igual a 0.