, é o limite da região delimitada pelo cilindro pelos planos e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de superfície , onde é a superfície que forma os limites da região definida pelo cilindro e pelos planos e . A matéria aqui envolve cálculo de integrais de superfície em geometria tridimensional. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície e calcular , que é o elemento de área da superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região. O cilindro tem raio 3 e é paralelo ao eixo . Os planos e vão cortar esse cilindro, criando uma espécie de “fatias” na forma do cilindro.
Passo 3
A superfície que a gente precisa considerar é composta por três partes:
Superfície lateral do cilindro entre e .
Plano dentro do cilindro.
Plano dentro do cilindro.
Vamos calcular a integral em cada uma dessas partes separadamente e depois somar os resultados.
Passo 4
1. Superfície lateral do cilindro:
Para parametrizar a superfície lateral do cilindro, usamos coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Onde varia de a . O valor de vai de até .
O elemento de área para a superfície lateral do cilindro é:
Então, a integral fica:
Substituindo :
Calculando a integral interna:
Então, a integral fica:
Explicando rapidamente: toda essa parte é sobre multiplicar e integrar funções trigonométricas, que pode ser simplificada usando identidades trigonométricas.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral resultante:
Sabemos que a integral de de 0 a é zero, assim como a integral de e . Portanto, toda essa parte resulta em zero.
Conclusão para a superfície lateral: A contribuição dessa parte é zero.
Passo 6
2. Plano :
No plano , estamos na superfície onde . A integral é:
Pois , o que anula toda a expressão.
Passo 7
3. Plano :
Neste plano, podemos expressar em função de : .
Aqui, a superfície está dentro do cilindro . Podemos usar coordenadas polares para e :
O elemento de área no plano é:
Como , temos e . Então:
A integral fica:
Usando coordenadas polares:
Substituindo:
Mais uma vez, as integrais de e de 0 a são zero. Portanto, essa parte também resulta em zero.