Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e desenhar o domínio e a imagem da função . Isso está relacionado a funções de várias variáveis e aos conceitos de domínio e imagem na matemática. Vamos precisar entender sobre funções envolvendo raízes quadradas e valores absolutos para conseguir resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de e que fazem a função ser válida, ou seja, que não dão resultados impossíveis.

Passo 3

A função que temos é . Sabemos que o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não existe raiz quadrada de número negativo nos números reais. Então, vamos estabelecer essa condição:

Passo 4

Vamos resolver essa inequação:
Isso significa que a soma dos valores absolutos de e precisa ser pelo menos 1.

Passo 5

Agora, vamos interpretar graficamente essa condição. A equação representa um losango (ou diamante) no plano com vértices nos pontos , , e .

Passo 6

Como queremos , isso significa que o domínio da função são todos os pontos fora ou sobre esse losango. Ou seja, estamos considerando todos os que estão na região externa ou na própria fronteira do losango.

Passo 7

Agora, vamos falar sobre a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de que a função pode assumir.

Passo 8

Da nossa função , sabemos que a raiz quadrada sempre dá um valor não negativo. Então, .

Passo 9

Além disso, conforme a condição do domínio , quando , temos . À medida que aumenta, também aumenta sem limite superior. Portanto, a imagem da função é todos os números reais não negativos:

Resposta

Então, o domínio da função é o conjunto de todos os pontos onde , ou seja, todos os pontos fora ou sobre o losango com vértices em , , e .
A imagem da função é todos os números reais não negativos, .

Gráfico

(Aqui você pode desenhar o losango mencionado e sombrear a região externa para representar o domínio, e indicar que varia de 0 em diante.)

Exercícios relacionados

Determine as fórmulas para e . ©
Mostre que o produto dos vetores e de , satisfaz a definição para produto escalar.
Seja . Calcule
Um vasilhame contendo água está fixado na carroceria de um caminhão. Este se move em uma direção horizontal com aceleração de . Qual é o ângulo entre a superfície da água e a horizontal? Resposta: .