Determinar e representar graficamente o Domínio e a Imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e desenhar o domínio e a imagem da função
. Isso está relacionado a funções de várias variáveis e aos conceitos de domínio e imagem na matemática. Vamos precisar entender sobre funções envolvendo raízes quadradas e valores absolutos para conseguir resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os possíveis valores de
e
que fazem a função ser válida, ou seja, que não dão resultados impossíveis.
Passo 3
A função que temos é
. Sabemos que o que está dentro da raiz quadrada precisa ser maior ou igual a zero, porque não existe raiz quadrada de número negativo nos números reais. Então, vamos estabelecer essa condição:
Passo 4
Vamos resolver essa inequação:
Isso significa que a soma dos valores absolutos de
e
precisa ser pelo menos 1.
Passo 5
Agora, vamos interpretar graficamente essa condição. A equação
representa um losango (ou diamante) no plano
com vértices nos pontos
,
,
e
.
Passo 6
Como queremos
, isso significa que o domínio da função são todos os pontos fora ou sobre esse losango. Ou seja, estamos considerando todos os
que estão na região externa ou na própria fronteira do losango.
Passo 7
Agora, vamos falar sobre a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os possíveis valores de
que a função pode assumir.
Passo 8
Da nossa função
, sabemos que a raiz quadrada sempre dá um valor não negativo. Então,
.
Passo 9
Além disso, conforme a condição do domínio
, quando
, temos
. À medida que
aumenta,
também aumenta sem limite superior. Portanto, a imagem da função é todos os números reais não negativos:
Resposta
Então, o domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
onde
, ou seja, todos os pontos fora ou sobre o losango com vértices em
,
,
e
.
A imagem da função é todos os números reais não negativos,
.
Gráfico
(Aqui você pode desenhar o losango mencionado e sombrear a região externa para representar o domínio, e indicar que
varia de 0 em diante.)
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Determine as fórmulas para
e
. ©
Mostre que o produto dos vetores
e
de
,
satisfaz a definição para produto escalar.
Seja
. Calcule
Um vasilhame contendo água está fixado na carroceria de um caminhão. Este se move em uma direção horizontal com aceleração de
. Qual é o ângulo
entre a superfície da água e a horizontal? Resposta:
.