Determine as fórmulas para f circ g e g circ f. © f(x)=1+x1-x, g(x)=x1-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as fórmulas para a composição das funções f(x) = 1 + x1 - x e g(x) = x1 - x . As funções que a gente tem são:
Vamos usar o conteúdo de composição de funções, que basicamente significa substituir uma função na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é composição de funções. Quando a gente tem f circ g (x) = f(g(x)) , isso quer dizer que a gente vai pegar a função g circ f (x) = g(f(x)) e substituir dentro da função . Ou seja:
E da mesma forma:

Passo 3

Vamos calcular f(g(x)) = f(x1 - x) = 1 + x1 - x1 - x1 - x primeiro. Substituímos na função :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Primeiramente, vamos somar as frações no numerador e no denominador:
1 + x1 - x1 - x1 - x = (1)(1 - x) + x1 - x(1)(1 - x) - x1 - x
Isso simplifica para:
1 - x + x1 - x1 - x - x1 - x = 11 - x1 - 2x1 - x

Passo 5

As frações com o denominador 11 - 2x se cancelam:
f circ g (x) = 11 - 2x
Então, a fórmula para é:

Passo 6

Agora, vamos calcular g(f(x)) = g(1 + x1 - x) = 1 + x1 - x1 - 1 + x1 - x . Substituímos na função :

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, vamos lidar com o denominador:
1 - 1 + x1 - x = (1)(1 - x) - (1 + x)1 - x = 1 - x - 1 - x1 - x = -2x1 - x
Então, a expressão fica:
1 + x1 - x-2x1 - x

Passo 8

As frações com o denominador 1 + x-2x = -1 + x2x se cancelam novamente:
g circ f (x) = -1 + x2x
Então, a fórmula para é:

Resposta

As fórmulas das composições são:
f circ g (x) = 11 - 2x
g circ f (x) = -1 + x2x

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