Econtrar o fluxo do campo vetorial por superfície de paralelipípedo de lados com coordenadas dos vértices .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial através de uma superfície de um paralelopípedo com lados , e , cujos vértices estão nas coordenadas . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente o teorema da divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede a quantidade de campo que atravessa uma superfície. Matematicamente, para uma superfície fechada e um campo vetorial , o fluxo é dado por:
onde é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, em vez de calcular o fluxo diretamente em cada face do paralelopípedo, vamos usar o teorema da divergência, que simplifica nosso trabalho. Esse teorema diz que o fluxo total através de uma superfície fechada é igual à integral tripla da divergência do campo vetorial sobre o volume dentro da superfície:
Então, nosso próximo passo é encontrar a divergência de .
Passo 4
A divergência de um campo vetorial é calculada da seguinte forma:
Vamos calcular cada termo:
Então, a divergência fica:
Passo 5
Agora, vamos inserir essa divergência na integral tripla sobre o volume do paralelopípedo. Os limites de integração para , e vão de a , a , e a , respectivamente.
Então, temos:
Passo 6
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, fazemos a integração em relação a :
Calculando nos limites:
Simplificando:
Pois o termo com é ímpar e se anula.
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral dupla restante:
Vamos integrar em relação a :
Passo 8
Por fim, integramos em relação a :
Resposta
O fluxo do campo vetorial pela superfície do paralelopípedo é: