Econtrar o fluxo do campo vetorial A por superfície de paralelipípedo de lados a, b, c com coordenadas dos vértices (+- a / 2, +- b / 2, +- c / 2), A = i x + j y^3 + k z^5.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial através de uma superfície de um paralelopípedo com lados , e , cujos vértices estão nas coordenadas . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente o teorema da divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo no volume interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial. O fluxo mede a quantidade de campo que atravessa uma superfície. Matematicamente, para uma superfície fechada e um campo vetorial , o fluxo é dado por:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, em vez de calcular o fluxo diretamente em cada face do paralelopípedo, vamos usar o teorema da divergência, que simplifica nosso trabalho. Esse teorema diz que o fluxo total através de uma superfície fechada é igual à integral tripla da divergência do campo vetorial sobre o volume dentro da superfície:
Então, nosso próximo passo é encontrar a divergência de .

Passo 4

A divergência de um campo vetorial é calculada da seguinte forma:
Vamos calcular cada termo:
Então, a divergência fica:

Passo 5

Agora, vamos inserir essa divergência na integral tripla sobre o volume do paralelopípedo. Os limites de integração para , e vão de a , a , e a , respectivamente.
Então, temos:

Passo 6

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, fazemos a integração em relação a :
Calculando nos limites:
Simplificando:
Pois o termo com é ímpar e se anula.

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral dupla restante:
Vamos integrar em relação a :

Passo 8

Por fim, integramos em relação a :

Resposta

O fluxo do campo vetorial pela superfície do paralelopípedo é:

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