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(a) Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto a uma taxa de 4/5 pi m^3 / min. O tanque está aumentando de tal forma que se mantenha cilíndrico, com o raio crescendo a uma taxa de 0,2 cm/min. Quāo rápido está se elevando a superfície da água quando o raio for 2 m e o volume de água no tanque for 20 pi m^3. (Sugestão: use regra da cadeia).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque cilíndrico que está enchendo com água a uma certa taxa, e o raio do cilindro também está aumentando. Queremos descobrir quão rápido a superfície da água está subindo quando o raio é 2 metros e o volume de água é . Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e as fórmulas relacionadas ao volume de um cilindro.

Passo 2

Sabemos que o volume de um cilindro é dado por:
onde é o raio e é a altura da água no tanque. Como tanto quanto estão mudando com o tempo, vamos derivar essa equação em relação ao tempo .

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação ao tempo, temos:
Aqui, é a taxa de enchimento do tanque, é a taxa de aumento do raio, e é o que queremos encontrar.

Passo 4

Substituindo os valores conhecidos na equação:
Converti para metros por minuto, já que . Também calculei a partir de .

Passo 5

Simplificando a equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Calculando os valores:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por para isolar :

Resposta

A superfície da água está subindo a uma taxa de .

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