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(a) Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto a uma taxa de
. O tanque está aumentando de tal forma que se mantenha cilíndrico, com o raio crescendo a uma taxa de
. Quāo rápido está se elevando a superfície da água quando o raio for 2 m e o volume de água no tanque for
. (Sugestão: use regra da cadeia).
(a) Água está fluindo para dentro de um tanque com a forma de um cilindro circular reto a uma taxa de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque cilíndrico que está enchendo com água a uma certa taxa, e o raio do cilindro também está aumentando. Queremos descobrir quão rápido a superfície da água está subindo quando o raio é 2 metros e o volume de água é
. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e as fórmulas relacionadas ao volume de um cilindro.
Passo 2
Sabemos que o volume
de um cilindro é dado por:
onde
é o raio e
é a altura da água no tanque. Como tanto
quanto
estão mudando com o tempo, vamos derivar essa equação em relação ao tempo
.
Passo 3
Derivando ambos os lados em relação ao tempo, temos:
Aqui,
é a taxa de enchimento do tanque,
é a taxa de aumento do raio, e
é o que queremos encontrar.
Passo 4
Substituindo os valores conhecidos na equação:
Converti
para metros por minuto, já que
. Também calculei
a partir de
.
Passo 5
Simplificando a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Calculando os valores:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
para isolar
:
Resposta
A superfície da água está subindo a uma taxa de
.
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a)
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onde
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.
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