Determinar na reta
r:l x=-2+2 t y=-4 t z=-1+2 t
um ponto equidistante dos pontos P=(-1,2-1), Q=(1,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma reta r: l x = -2 + 2t y = -4t z = -1 + 2t definida pelas equações paramétricas:
E queremos encontrar um ponto nessa reta que esteja à mesma distância dos pontos e .
Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço e entender um pouco sobre equações paramétricas de retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que um ponto está na reta R(t) = (-2 + 2t, -4t, -1 + 2t) . A reta está definida por um parâmetro , e cada valor de nos dá um ponto diferente na reta. Então, qualquer ponto na reta pode ser representado como:

Passo 3

Agora, queremos que a distância de d(A, B) = raiz(xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB - zA)^2 até seja igual à distância de até . Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:

Passo 4

Vamos calcular a distância entre d(R, P) = raiz((-2 + 2t) - (-1))^2 + ((-4t) - 2)^2 + ((-1 + 2t) - (-1))^2 e d(R, P) = raiz(-2 + 2t + 1)^2 + (-4t - 2)^2 + (-1 + 2t + 1)^2 = raiz(-1 + 2t)^2 + (-4t - 2)^2 + (2t)^2 :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a distância entre d(R, Q) = raiz((-2 + 2t) - 1)^2 + ((-4t) - 0)^2 + ((-1 + 2t) - 2)^2 e d(R, Q) = raiz(-2 + 2t - 1)^2 + (-4t)^2 + (-1 + 2t - 2)^2 = raiz(-3 + 2t)^2 + (-4t)^2 + (-3 + 2t)^2 :
Simplificando:

Passo 6

Como queremos que raiz(-1 + 2t)^2 + (-4t - 2)^2 + (2t)^2 = raiz(-3 + 2t)^2 + (-4t)^2 + (-3 + 2t)^2 , vamos igualar as duas expressões:
(-1 + 2t)^2 + (-4t - 2)^2 + (2t)^2 = (-3 + 2t)^2 + (-4t)^2 + (-3 + 2t)^2
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 7

Agora, vamos expandir os termos quadráticos:
Para o lado esquerdo:
(-1 + 2t)^2 = 1 - 4t + 4t^2
(-4t - 2)^2 = 16t^2 + 16t + 4
(2t)^2 = 4t^2
Somando:
1 - 4t + 4t^2 + 16t^2 + 16t + 4 + 4t^2 = 24t^2 + 12t + 5
Para o lado direito:
(-3 + 2t)^2 = 9 - 12t + 4t^2
(-4t)^2 = 16t^2
(-3 + 2t)^2 = 9 - 12t + 4t^2
Somando:
9 - 12t + 4t^2 + 16t^2 + 9 - 12t + 4t^2 = 24t^2 - 24t + 18

Passo 8

Agora temos a equação:
24t^2 + 12t + 5 = 24t^2 - 24t + 18
Vamos simplificar subtraindo 12t + 5 = -24t + 18 de ambos os lados:

Passo 9

Agora, vamos resolver para 12t + 24t = 18 - 5 :
36t = 13
t = 1336

Resposta

O ponto na reta R(1336) = (-2 + 2 cdot 1336, -4 cdot 1336, -1 + 2 cdot 1336) = (-5036, -5236, -1036) que está à mesma distância dos pontos R = (-2518, -139, -518) e é:
Ou simplificando as frações:

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