Determine a equação da elipse com as seguintes propriedades
(a) Centro no ponto (4,2), excentricidade
e eixo menor de medida 6 .
(b) Centro no ponto
, um foco no ponto
e excentricidade
.
(a) Centro no ponto (4,2), excentricidade
(b) Centro no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício! A gente precisa encontrar a equação da elipse que tem centro no ponto (4,2), excentricidade
e eixo menor com comprimento 6. Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão da elipse com centro em
é:
Aqui,
é a metade do comprimento do eixo maior e
é a metade do comprimento do eixo menor.
Passo 3
Sabemos que o comprimento do eixo menor é 6, então
.
Passo 4
A excentricidade
da elipse é dada por:
onde
é a distância do centro até cada foco. Como
, podemos escrever:
Passo 5
Além disso, temos a relação entre
,
e
em uma elipse:
Substituindo
e
:
Passo 6
Resolvendo para
:
Então,
.
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos montar a equação da elipse:
Passo 8
Agora, vamos para a parte (b). Precisamos encontrar a equação da elipse com centro no ponto
, um dos focos no ponto
e excentricidade
.
Passo 9
Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
- Centro
- Um foco em
. Como o centro está em , a distância do centro a esse foco é . - Excentricidade
Passo 10
Sabemos que a excentricidade
, então podemos encontrar
:
Passo 11
Agora, usamos a relação entre
,
e
:
Substituindo
e
:
Passo 12
Como a distância dos focos está ao longo do eixo horizontal (mesmo valor de
), a equação da elipse será:
Resposta
A equação da elipse é: