Determine a equação da elipse com as seguintes propriedades
(a) Centro no ponto (4,2), excentricidade e=1 / 2 e eixo menor de medida 6 .
(b) Centro no ponto (1,4), um foco no ponto (5,4) e excentricidade e=2 / 3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (a) do exercício! A gente precisa encontrar a equação da elipse que tem centro no ponto (4,2), excentricidade e eixo menor com comprimento 6. Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão da elipse com centro em (x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1 é:
Aqui, é a metade do comprimento do eixo maior e é a metade do comprimento do eixo menor.

Passo 3

Sabemos que o comprimento do eixo menor é 6, então .

Passo 4

A excentricidade e = ca da elipse é dada por:
12 = ca Rightarrow c = a2
onde é a distância do centro até cada foco. Como , podemos escrever:

Passo 5

Além disso, temos a relação entre c^2 = a^2 - b^2 , (a2)^2 = a^2 - 9 e a^24 = a^2 - 9 em uma elipse:
Substituindo e :

Passo 6

Resolvendo para a^24 - a^2 = -9 :
-3a^24 = -9
3a^24 = 9
a^2 = 9 times 43 = 12
Então, .

Passo 7

Agora que temos (x-4)^212 + (y-2)^29 = 1 e , podemos montar a equação da elipse:

Passo 8

Agora, vamos para a parte (b). Precisamos encontrar a equação da elipse com centro no ponto , um dos focos no ponto e excentricidade .

Passo 9

Primeiro, vamos identificar as informações dadas:
  • Centro
  • Um foco em . Como o centro está em , a distância do centro a esse foco é .
  • Excentricidade

Passo 10

Sabemos que a excentricidade 23 = 4a Rightarrow a = 4 times 32 = 6 , então podemos encontrar :

Passo 11

Agora, usamos a relação entre c^2 = a^2 - b^2 , 16 = 36 - b^2 Rightarrow b^2 = 36 - 16 = 20 e :
Substituindo e :

Passo 12

Como a distância dos focos está ao longo do eixo horizontal (mesmo valor de (x-1)^236 + (y-4)^220 = 1 ), a equação da elipse será:

Resposta

A equação da elipse é:
(x-1)^236 + (y-4)^220 = 1

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