Para que duas retas sejam paralelas, os vetores de direção delas devem ser proporcionais. Vamos identificar os vetores de direção de d1 = k cdot d2 e m = k cdot 1 n = k cdot n 2 = k cdot 2 :
Vetor direção de n = 1 cdot n implies n = n :
Vetor direção de :
Para que sejam paralelas, existe um escalar tal que:
Isso resulta nas equações:
Da última equação, temos . Substituindo na segunda equação:
Isso significa que pode ser qualquer valor real.
Passo 3
(b) Retas Concorrentes
Duas retas são concorrentes se elas possuem um ponto em comum. Para encontrar 1 + m t = 2 + s 2 + n t = 1 + n s -1 + 2 t = -1 + 2 s e 2 t = 2 s implies t = s que satisfazem isso, igualamos as equações paramétricas das retas:
1 + m t = 2 + t implies (m - 1) t = 1 2 + n t = 1 + n t implies 2 = 1
Da terceira equação:
Substituindo nas primeiras duas equações:
A última equação resultou em uma contradição (), o que significa que não existem valores de e que tornem as retas concorrentes.
Retas são reversas quando não são paralelas nem concorrentes. Já vimos que para serem concorrentes não há solução e para serem paralelas e é qualquer valor. Então, para que sejam reversas, precisamos que não sejam paralelas, ou seja, .