Determine os valores de m e n para que as retas
r1:l x=1+m t y=2+n t z=-1+2 t r2:l x=2+t y=1+n t z=-1+2 t
sejam
(a) Paralelas.
(b) Concorrentes.
© Reversas.

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar os valores de e para que as retas e sejam (a) Paralelas, (b) Concorrentes e © Reversas. Vamos utilizar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre retas no espaço tridimensional, suas direções e posições relativas.

Passo 2

(a) Retas Paralelas

Para que duas retas sejam paralelas, os vetores de direção delas devem ser proporcionais. Vamos identificar os vetores de direção de d1 = k cdot d2 e m = k cdot 1 n = k cdot n 2 = k cdot 2 :
  • Vetor direção de n = 1 cdot n implies n = n :
  • Vetor direção de :
Para que sejam paralelas, existe um escalar tal que:
Isso resulta nas equações:
Da última equação, temos . Substituindo na segunda equação:
Isso significa que pode ser qualquer valor real.

Passo 3

(b) Retas Concorrentes

Duas retas são concorrentes se elas possuem um ponto em comum. Para encontrar 1 + m t = 2 + s 2 + n t = 1 + n s -1 + 2 t = -1 + 2 s e 2 t = 2 s implies t = s que satisfazem isso, igualamos as equações paramétricas das retas:
1 + m t = 2 + t implies (m - 1) t = 1 2 + n t = 1 + n t implies 2 = 1
Da terceira equação:
Substituindo nas primeiras duas equações:
A última equação resultou em uma contradição ( ), o que significa que não existem valores de e que tornem as retas concorrentes.

Passo 4

© Retas Reversas

Retas são reversas quando não são paralelas nem concorrentes. Já vimos que para serem concorrentes não há solução e para serem paralelas e é qualquer valor. Então, para que sejam reversas, precisamos que não sejam paralelas, ou seja, .

Resposta

(a) Para as retas serem paralelas, e pode ser qualquer valor real.
(b) Não existem valores de e que façam as retas concorrentes.
© Para as retas serem reversas, deve ser diferente de 1.

Exercícios relacionados