Determine a distância entre as retas dadas. Também determine um ponto sobre cada reta tal que a distância entre esses pontos coincide com a distância entre as retas
(a) e .
(b)
e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a distância entre duas retas no espaço e encontrar pontos em cada reta que estão exatamente nessa distância. Vamos trabalhar com geometria analítica, usando vetores e fórmulas de distância entre retas. Para isso, vamos precisar entender as equações paramétricas das retas e usar a fórmula da distância entre duas retas.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). As retas dadas são:
e
Primeiro, precisamos reescrever essas equações em forma paramétrica para facilitar os cálculos.
Passo 3
Para a reta , a equação está um pouco confusa. Vamos reescrevê-la de maneira clara. Suponho que seja:
Assim, podemos expressar em forma paramétrica como:
Onde é o parâmetro.
Passo 4
Agora, para a reta r2: x - 2 = y - 13 = z + 12 :
x = 2 + s y = 1 + 3s z = -1 + 2s
Vamos chamar cada uma dessas igualdades de r2: x = 2 + s y = 1 + 3s z = -1 + 2s . Então:
Então, a forma paramétrica de é:
Passo 5
Agora que temos as equações paramétricas das duas retas, podemos identificar os vetores diretores e os pontos de cada reta.
Para :
Ponto inicial quando
Vetor diretor
Para :
Ponto inicial quando
Vetor diretor
Passo 6
A distância entre duas retas no espaço que não são paralelas pode ser encontrada usando a fórmula:
Como o produto escalar deu zero, significa que as retas são paralelas ou coincidentes. Vamos verificar se são paralelas.
Os vetores diretores e não são múltiplos um do outro, então as retas não são paralelas e não coincidem. Isso indica que são retas concorrentes, ou seja, se cruzam em um ponto.
Passo 11
Nesse caso, a distância entre elas é zero, pois elas se interceptam.
Resposta
A distância entre as retas e na parte (a) é 0 unidades.