Determine a distância entre as retas dadas. Também determine um ponto sobre cada reta tal que a distância entre esses pontos coincide com a distância entre as retas
(a) r1: 2 x=3 x=z e r2: x-2=y-13=z+12.
(b) r1: x+12=y+34=z-26
e r2:(-2,4,1)+t(0,2,-3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a distância entre duas retas no espaço e encontrar pontos em cada reta que estão exatamente nessa distância. Vamos trabalhar com geometria analítica, usando vetores e fórmulas de distância entre retas. Para isso, vamos precisar entender as equações paramétricas das retas e usar a fórmula da distância entre duas retas.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a). As retas dadas são:
r1: 2x3 = xz
e
r2: x - 2 = y - 13 = z + 12
Primeiro, precisamos reescrever essas equações em forma paramétrica para facilitar os cálculos.

Passo 3

Para a reta r1: x2 = y3 = z1 , a equação está um pouco confusa. Vamos reescrevê-la de maneira clara. Suponho que seja:
r1: x = 2t y = 3t z = t
Assim, podemos expressar em forma paramétrica como:
Onde é o parâmetro.

Passo 4

Agora, para a reta r2: x - 2 = y - 13 = z + 12 :
x = 2 + s y = 1 + 3s z = -1 + 2s
Vamos chamar cada uma dessas igualdades de r2: x = 2 + s y = 1 + 3s z = -1 + 2s . Então:
Então, a forma paramétrica de é:

Passo 5

Agora que temos as equações paramétricas das duas retas, podemos identificar os vetores diretores e os pontos de cada reta.
Para :
  • Ponto inicial quando
  • Vetor diretor
Para :
  • Ponto inicial quando
  • Vetor diretor

Passo 6

A distância entre duas retas no espaço que não são paralelas pode ser encontrada usando a fórmula:
d = |(P2P1) cdot (v1 times v2)||v1 times v2|
Onde:
  • é o vetor que vai de para
  • representa o produto vetorial
  • representa o produto escalar

Passo 7

Primeiro, encontramos o vetor P2P1 = P1 - P2 = (0 - 2, 0 - 1, 0 - (-1)) = (-2, -1, 1) :

Passo 8

Agora, calculamos o produto vetorial v1 = (2, 3, 1) v2 = (1, 3, 2) :
v1 times v2 = i & j & k 2 & 3 & 1 1 & 3 & 2 = i(3 cdot 2 - 1 cdot 3) - j(2 cdot 2 - 1 cdot 1) + k(2 cdot 3 - 3 cdot 1) = i(6 - 3) - j(4 - 1) + k(6 - 3) = 3i - 3j + 3k = (3, -3, 3)
O produto vetorial é:

Passo 9

Agora, calculamos o produto escalar P2P1 = (-2, -1, 1) v1 times v2 = (3, -3, 3) :
P2P1 cdot (v1 times v2) = (-2)(3) + (-1)(-3) + (1)(3) = -6 + 3 + 3 = 0
Então:

Passo 10

Como o produto escalar deu zero, significa que as retas são paralelas ou coincidentes. Vamos verificar se são paralelas.
Os vetores diretores e não são múltiplos um do outro, então as retas não são paralelas e não coincidem. Isso indica que são retas concorrentes, ou seja, se cruzam em um ponto.

Passo 11

Nesse caso, a distância entre elas é zero, pois elas se interceptam.

Resposta

A distância entre as retas e na parte (a) é 0 unidades.

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