Determinar na reta
r:l x=3+t y=1-t z=-1+2 t
um ponto equidistante dos pontos P=(1,-2,1), Q=(1,2,5).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta r: l x = 3 + t y = 1 - t z = -1 + 2t definida pelas equações paramétricas:
Queremos encontrar um ponto nessa reta que esteja à mesma distância dos pontos e . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional.

Passo 2

Vamos chamar o ponto na reta de M = (3 + t, 1 - t, -1 + 2t) . Como está na reta , podemos expressá-lo em termos do parâmetro :

Passo 3

Precisamos que a distância de d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 a seja igual à distância de a . Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:

Passo 4

Vamos calcular a distância d(M,P) = raiz(3 + t - 1)^2 + (1 - t - (-2))^2 + (-1 + 2t - 1)^2 :
d(M,P) = raiz(2 + t)^2 + (3 - t)^2 + (-2 + 2t)^2
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, calculamos a distância d(M,Q) = raiz(3 + t - 1)^2 + (1 - t - 2)^2 + (-1 + 2t - 5)^2 :
d(M,Q) = raiz(2 + t)^2 + (-1 - t)^2 + (-6 + 2t)^2
Simplificando os termos:

Passo 6

Igualamos as duas distâncias para encontrar o valor de raiz(2 + t)^2 + (3 - t)^2 + (-2 + 2t)^2 = raiz(2 + t)^2 + (-1 - t)^2 + (-6 + 2t)^2 :
(2 + t)^2 + (3 - t)^2 + (-2 + 2t)^2 = (2 + t)^2 + (-1 - t)^2 + (-6 + 2t)^2
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 7

Agora, vamos expandir os termos quadráticos:
Lado Esquerdo:
(2 + t)^2 = 4 + 4t + t^2
(3 - t)^2 = 9 - 6t + t^2
(-2 + 2t)^2 = 4 - 8t + 4t^2
Somando tudo:
4 + 4t + t^2 + 9 - 6t + t^2 + 4 - 8t + 4t^2 = 17 - 10t + 6t^2
Lado Direito:
(2 + t)^2 = 4 + 4t + t^2
(-1 - t)^2 = 1 + 2t + t^2
(-6 + 2t)^2 = 36 - 24t + 4t^2
Somando tudo:
4 + 4t + t^2 + 1 + 2t + t^2 + 36 - 24t + 4t^2 = 41 - 18t + 6t^2

Passo 8

Igualando os dois lados da equação:
17 - 10t + 6t^2 = 41 - 18t + 6t^2
Podemos simplificar subtraindo 17 - 10t = 41 - 18t de ambos os lados:

Passo 9

Agora, resolvemos para -10t + 18t = 41 - 17 :
8t = 24
t = 3

Resposta

Substituindo M = (3 + 3, 1 - 3, -1 + 6) = (6, -2, 5) nas equações paramétricas da reta :
Portanto, o ponto na reta que está equidistante dos pontos e é .

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