um ponto equidistante dos pontos P=(1,-2,1), Q=(1,2,5).
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta r: l x = 3 + t y = 1 - t z = -1 + 2t definida pelas equações paramétricas:
Queremos encontrar um ponto nessa reta que esteja à mesma distância dos pontos e . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço tridimensional.
Passo 2
Vamos chamar o ponto na reta de M = (3 + t, 1 - t, -1 + 2t) . Como está na reta , podemos expressá-lo em termos do parâmetro :
Passo 3
Precisamos que a distância de d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 a seja igual à distância de a . Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos no espaço:
Passo 4
Vamos calcular a distância d(M,P) = raiz(3 + t - 1)^2 + (1 - t - (-2))^2 + (-1 + 2t - 1)^2 :
d(M,P) = raiz(2 + t)^2 + (3 - t)^2 + (-2 + 2t)^2
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, calculamos a distância d(M,Q) = raiz(3 + t - 1)^2 + (1 - t - 2)^2 + (-1 + 2t - 5)^2 :
d(M,Q) = raiz(2 + t)^2 + (-1 - t)^2 + (-6 + 2t)^2
Simplificando os termos:
Passo 6
Igualamos as duas distâncias para encontrar o valor de raiz(2 + t)^2 + (3 - t)^2 + (-2 + 2t)^2 = raiz(2 + t)^2 + (-1 - t)^2 + (-6 + 2t)^2 :