Uma parábola tem vértice no ponto (1,1) e foco no ponto (2,1).
Determine a equação da diretriz.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma parábola com o vértice no ponto (1,1) e o foco no ponto (2,1). Precisamos encontrar a equação da diretriz dessa parábola. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados às parábolas, especialmente a relação entre vértice, foco e diretriz.

Passo 2

Vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância de um ponto fixo chamado foco e de uma linha fixa chamada diretriz. Além disso, a posição do foco em relação ao vértice nos diz para onde a parábola está “abrindo”.

Passo 3

Observando os pontos dados:
  • Vértice: (1,1)
  • Foco: (2,1)
Vemos que o foco está à direita do vértice, indicando que a parábola está abrindo para a direita.

Passo 4

Para parábolas que abrem para a direita ou para a esquerda, a equação padrão é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
onde (h,k) é o vértice e p é a distância do vértice ao foco. Se p for positivo, a parábola abre para a direita; se for negativo, para a esquerda.

Passo 5

Vamos identificar os valores na nossa situação:
  • Vértice (h,k) = (1,1)
  • Foco está a uma unidade para a direita do vértice, então p = 1
Substituindo esses valores na equação padrão:
(y - 1)^2 = 4 times 1 times (x - 1)
Simplificando:
(y - 1)^2 = 4(x - 1)

Passo 6

Agora, para encontrar a diretriz, usamos a relação:
x = h - p
Substituindo h = 1 e p = 1:
x = 1 - 1
x = 0
Então, a diretriz é a linha vertical x = 0.

Resposta

A equação da diretriz é x = 0.

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Uma parábola tem vértice no ponto (1,1) e foco no ponto (2,1).
Determine a equação padrão da parábola.
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