Determinar na reta
:
um ponto equidistante dos pontos
A(2,-1,2) e
B(1,0,-1) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um ponto na reta
x = 2 + lambda y = lambda z = -1 + 2lambda definida pelas equações:
que está equidistante dos pontos
e
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o ponto na reta
P(2 + lambda, lambda, -1 + 2lambda) de forma geral. Qualquer ponto
na reta
pode ser escrito como:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz a distância de
até
igual à distância de
até
.
Passo 3
Vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço, que é:
Primeiro, calcularemos a distância entre
dPA = raiz(2 + lambda - 2)^2 + (lambda - (-1))^2 + (-1 + 2lambda - 2)^2 e
dPA = raizlambda^2 + (lambda + 1)^2 + (-3 + 2lambda)^2 :
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculamos a distância entre
dPB = raiz(2 + lambda - 1)^2 + (lambda - 0)^2 + (-1 + 2lambda - (-1))^2 e
dPB = raiz(1 + lambda)^2 + lambda^2 + (2lambda)^2 :
Simplificando:
Passo 5
Como queremos que
raizlambda^2 + (lambda + 1)^2 + (-3 + 2lambda)^2 = raiz(1 + lambda)^2 + lambda^2 + (2lambda)^2 , vamos igualar as duas expressões:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 6
Agora, expandimos os termos:
Simplificando cada lado:
Esquerda:
Esquerda:
Direita:
Passo 7
Agora, igualamos as expressões simplificadas:
Subtraindo
-10lambda + 10 = 2lambda + 1 de ambos os lados:
Agora, isolamos
:
Resposta
O ponto na reta
P(2 + 34, 34, -1 + 2 cdot 34) = (114, 34, 12) que está equidistante dos pontos
e
corresponde a
. Substituindo na equação da reta:
Portanto, o ponto procurado é
.