Determinar na reta r : lx=2+lambda y=lambda z=-1+2 lambda um ponto equidistante dos pontos A(2,-1,2) e B(1,0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um ponto na reta x = 2 + lambda y = lambda z = -1 + 2lambda definida pelas equações:
que está equidistante dos pontos e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o ponto na reta P(2 + lambda, lambda, -1 + 2lambda) de forma geral. Qualquer ponto na reta pode ser escrito como:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz a distância de até igual à distância de até .

Passo 3

Vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço, que é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Primeiro, calcularemos a distância entre dPA = raiz(2 + lambda - 2)^2 + (lambda - (-1))^2 + (-1 + 2lambda - 2)^2 e dPA = raizlambda^2 + (lambda + 1)^2 + (-3 + 2lambda)^2 :
Simplificando:

Passo 4

Agora, calculamos a distância entre dPB = raiz(2 + lambda - 1)^2 + (lambda - 0)^2 + (-1 + 2lambda - (-1))^2 e dPB = raiz(1 + lambda)^2 + lambda^2 + (2lambda)^2 :
Simplificando:

Passo 5

Como queremos que raizlambda^2 + (lambda + 1)^2 + (-3 + 2lambda)^2 = raiz(1 + lambda)^2 + lambda^2 + (2lambda)^2 , vamos igualar as duas expressões:
lambda^2 + (lambda + 1)^2 + (-3 + 2lambda)^2 = (1 + lambda)^2 + lambda^2 + (2lambda)^2
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 6

Agora, expandimos os termos:
lambda^2 + (lambda^2 + 2lambda + 1) + (4lambda^2 - 12lambda + 9) = (lambda^2 + 2lambda + 1) + lambda^2 + 4lambda^2
Simplificando cada lado:
Esquerda:
lambda^2 + lambda^2 + 2lambda + 1 + 4lambda^2 - 12lambda + 9 = 6lambda^2 - 10lambda + 10
Direita:
lambda^2 + 2lambda + 1 + lambda^2 + 4lambda^2 = 6lambda^2 + 2lambda + 1

Passo 7

Agora, igualamos as expressões simplificadas:
6lambda^2 - 10lambda + 10 = 6lambda^2 + 2lambda + 1
Subtraindo -10lambda + 10 = 2lambda + 1 de ambos os lados:
-10lambda - 2lambda = 1 - 10 -12lambda = -9 lambda = 912 = 34
Agora, isolamos :

Resposta

O ponto na reta P(2 + 34, 34, -1 + 2 cdot 34) = (114, 34, 12) que está equidistante dos pontos e corresponde a . Substituindo na equação da reta:
Portanto, o ponto procurado é .

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