Determinar na reta : um ponto equidistante dos pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um ponto na reta definida pelas equações:
que está equidistante dos pontos e . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o ponto na reta de forma geral. Qualquer ponto na reta pode ser escrito como:
Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz a distância de até igual à distância de até .

Passo 3

Vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço, que é:
Primeiro, calcularemos a distância entre e :
Simplificando:

Passo 4

Agora, calculamos a distância entre e :
Simplificando:

Passo 5

Como queremos que , vamos igualar as duas expressões:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:

Passo 6

Agora, expandimos os termos:
Simplificando cada lado:
Esquerda:
Direita:

Passo 7

Agora, igualamos as expressões simplificadas:
Subtraindo de ambos os lados:
Agora, isolamos :

Resposta

O ponto na reta que está equidistante dos pontos e corresponde a . Substituindo na equação da reta:
Portanto, o ponto procurado é .

Exercícios relacionados

Na reta , determinar o ponto de:
(a) ordenada igual a 9;
(b) abscissa igual ao dobro da cota;
© ordenada igual ao triplo da cota.
Resolver os sistemas por escalonamento. Para sistemas com solução indeterminada, obter a resposta em forma paramétrica.
Resolver os sistemas por escalonamento. Para sistemas com solução indeterminada, obter a resposta em forma paramétrica.
Prove que o sistema

admite solulção se, e somente se, . Ache a solução geral do sistema quando e .