Determinar na reta
:
um ponto equidistante dos pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar um ponto na reta
definida pelas equações:
que está equidistante dos pontos
e
. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre dois pontos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o ponto na reta
de forma geral. Qualquer ponto
na reta
pode ser escrito como:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz a distância de
até
igual à distância de
até
.
Passo 3
Vamos utilizar a fórmula da distância entre dois pontos no espaço, que é:
Primeiro, calcularemos a distância entre
e
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, calculamos a distância entre
e
:
Simplificando:
Passo 5
Como queremos que
, vamos igualar as duas expressões:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes:
Passo 6
Agora, expandimos os termos:
Simplificando cada lado:
Esquerda:
Esquerda:
Direita:
Passo 7
Agora, igualamos as expressões simplificadas:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, isolamos
:
Resposta
O ponto na reta
que está equidistante dos pontos
e
corresponde a
. Substituindo na equação da reta:
Portanto, o ponto procurado é
.
Exercícios relacionados
Na reta
, determinar o ponto de:
(a) ordenada igual a 9;
(b) abscissa igual ao dobro da cota;
© ordenada igual ao triplo da cota.
(a) ordenada igual a 9;
(b) abscissa igual ao dobro da cota;
© ordenada igual ao triplo da cota.
Resolver os sistemas por escalonamento. Para sistemas com solução indeterminada, obter a resposta em forma paramétrica.
Resolver os sistemas por escalonamento. Para sistemas com solução indeterminada, obter a resposta em forma paramétrica.
Prove que o sistema
admite solulção se, e somente se, . Ache a solução geral do sistema quando
e
.
admite solulção se, e somente se,