Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
No espaço, a superfície de coordenadas cartesianas
, em coordenadas esféricas ela é descrita pela equação
.
No espaço, a superfície de coordenadas cartesianas
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a afirmação sobre a descrição de uma superfície no espaço usando coordenadas cartesianas e esféricas é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender as duas formas de coordenadas e como converter de uma para a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são coordenadas cartesianas e coordenadas esféricas. Nas coordenadas cartesianas, usamos os eixos x, y e z para localizar pontos no espaço. Já nas coordenadas esféricas, usamos três parâmetros:
(distância do ponto até a origem),
(ângulo no plano xy a partir do eixo x) e
(ângulo a partir do eixo z).
Para converter uma equação de coordenadas cartesianas para esféricas, usamos as seguintes relações:
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação dada em coordenadas cartesianas:
. Nosso objetivo é reescrever essa equação em termos de coordenadas esféricas usando as relações que mencionei.
Substituindo
e
pelas expressões em coordenadas esféricas, temos:
Simplificando:
Podemos fatorar o
:
Passo 4
Comparando a equação que encontramos com a que foi dada no enunciado:
Vemos que elas são exatamente iguais.
Resposta
Verdadeira. A equação da superfície
em coordenadas cartesianas é corretamente descrita em coordenadas esféricas por
.
Exercícios relacionados
Uma elipse tem centro na origem, semi-eixo maior sobre o eixo
de comprimento
. Se sua corda principal tem comprimento
, então a equação dessa elipse é?
(|ta 2011) Dado
, então
é igual a:
(Uece 2010) O conjugado,
, do número complexo
, com
e y números reais, é definido por
. Identificando o número complexo
iy com o ponto ( x , y) no plano cartesiano, podemos afirmar corretamente que o conjunto dos números complexos z que satisfazem a relação
estão sobre:
Uma elipse
tem foco
, diretriz
e excentricidade
. Determine as coordenadas de seu centro
.