(Uece 2010) O conjugado, barz, do número complexo z =x+i y, com x e y números reais, é definido por barz=x-i y. Identificando o número complexo z=x+ iy com o ponto ( x , y) no plano cartesiano, podemos afirmar corretamente que o conjunto dos números complexos z que satisfazem a relação a z barz+z+barz=0 estão sobre:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre números complexos. Um número complexo é representado por , onde e são números reais, e é a unidade imaginária. O conjugado desse número, , é . A gente precisa resolver a equação para descobrir onde no plano cartesiano os números complexos que satisfazem essa relação estão localizados.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir z = x + iy e barz = x - iy e na equação. Sabemos que:
Então, vamos colocar esses valores na equação original.

Passo 3

Substituindo na equação:
a z barz + z + barz = 0
Ficando:
a (x + iy)(x - iy) + (x + iy) + (x - iy) = 0
Agora, vamos multiplicar .

Passo 4

Multiplicando (x + iy)(x - iy) = x^2 - (iy)^2 = x^2 - i^2 y^2 :
x^2 - (-1)y^2 = x^2 + y^2
Sabemos que , então:
Agora, substituímos de volta na equação.

Passo 5

Substituindo de volta:
a (x^2 + y^2) + x + iy + x - iy = 0
Os termos a (x^2 + y^2) + 2x = 0 e se cancelam:
Vamos reorganizar a equação para facilitar a interpretação.

Passo 6

Reorganizando:
a x^2 + a y^2 + 2x = 0
Para entender qual curva isso representa, vamos completar o quadrado para .

Passo 7

Vamos completar o quadrado para o termo em a x^2 + 2x = a (x^2 + 2ax) = a ( (x + 1a)^2 - 1a^2 ) :
a ( (x + 1a)^2 - 1a^2 ) + a y^2 = 0
Substituindo de volta na equação:
a (x + 1a)^2 - 1a + a y^2 = 0
Simplificando:
a (x + 1a)^2 + a y^2 = 1a
(x + 1a)^2 + y^2 = 1a^2
Dividindo tudo por :

Passo 8

Olha só, essa é a equação de um círculo! A forma geral de um círculo no plano cartesiano é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde é o centro e é o raio.

Resposta

Então, o conjunto dos números complexos que satisfazem a relação estão sobre um círculo no plano cartesiano com centro em e raio .

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