(Uece 2010) O conjugado,
, do número complexo
, com
e y números reais, é definido por
. Identificando o número complexo
iy com o ponto ( x , y) no plano cartesiano, podemos afirmar corretamente que o conjunto dos números complexos z que satisfazem a relação
estão sobre:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre números complexos. Um número complexo
é representado por
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária. O conjugado desse número,
, é
. A gente precisa resolver a equação
para descobrir onde no plano cartesiano os números complexos que satisfazem essa relação estão localizados.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
e
na equação. Sabemos que:
Então, vamos colocar esses valores na equação original.
Passo 3
Substituindo na equação:
Ficando:
Agora, vamos multiplicar
.
Passo 4
Multiplicando
:
Sabemos que
, então:
Agora, substituímos de volta na equação.
Passo 5
Substituindo de volta:
Os termos
e
se cancelam:
Vamos reorganizar a equação para facilitar a interpretação.
Passo 6
Reorganizando:
Para entender qual curva isso representa, vamos completar o quadrado para
.
Passo 7
Vamos completar o quadrado para o termo em
:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Dividindo tudo por
:
Passo 8
Olha só, essa é a equação de um círculo! A forma geral de um círculo no plano cartesiano é:
Onde
é o centro e
é o raio.
Resposta
Então, o conjunto dos números complexos
que satisfazem a relação
estão sobre um círculo no plano cartesiano com centro em
e raio
.
Exercícios relacionados
Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
No espaço, a superfície de coordenadas cartesianas , em coordenadas esféricas ela é descrita pela equação
.
No espaço, a superfície de coordenadas cartesianas
Uma elipse tem centro na origem, semi-eixo maior sobre o eixo
de comprimento
. Se sua corda principal tem comprimento
, então a equação dessa elipse é?
Uma elipse
tem foco
, diretriz
e excentricidade
. Determine as coordenadas de seu centro
.
Plote os seguintes cilindros em
: