Uma elipse
tem foco
, diretriz
e excentricidade
. Determine as coordenadas de seu centro
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma elipse que possui um foco em
, uma diretriz dada pela equação
e uma excentricidade
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do centro da elipse
.
Passo 2
Vamos relembrar o que é excentricidade. A excentricidade
de uma elipse mede o quão alongada ela é. Para uma elipse,
. A relação entre a excentricidade, o semi-eixo maior
e a distância do centro ao foco
é dada por:
Como
, temos:
Passo 3
A distância de um foco à diretriz está relacionada ao semi-eixo maior
e à excentricidade
pela fórmula:
Vamos calcular a distância do foco
à diretriz
usando a fórmula da distância de um ponto a uma reta:
Passo 4
Sabemos que a distância do foco à diretriz é
. Substituindo
:
Agora, podemos encontrar
usando
:
Passo 5
Para encontrar o centro
, precisamos determinar a direção em que o foco está em relação à diretriz. A diretriz
pode ser reescrita como
, que tem inclinação 1. Isso indica que a direção do eixo maior está perpendicular à diretriz.
Passo 6
A normal à diretriz é a direção perpendicular a
, ou seja, com inclinação -1. Portanto, a linha que liga o foco ao centro da elipse tem inclinação -1. Assim, a diferença nas coordenadas
deve seguir a inclinação -1:
Passo 7
Agora, sabemos que a distância entre o foco
e o centro
é
. Usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo
:
Passo 8
Simplificando a equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Então, temos duas soluções:
ou
Passo 9
Agora, encontraremos
usando
:
Para :
Para
Para
:
Resposta
As coordenadas do centro
da elipse são
ou
.
Exercícios relacionados
(Uece 2010) O conjugado,
, do número complexo
, com
e y números reais, é definido por
. Identificando o número complexo
iy com o ponto ( x , y) no plano cartesiano, podemos afirmar corretamente que o conjunto dos números complexos z que satisfazem a relação
estão sobre:
Determinar se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique adequadamente.
No espaço, a superfície de coordenadas cartesianas , em coordenadas esféricas ela é descrita pela equação
.
No espaço, a superfície de coordenadas cartesianas
Plote os seguintes cilindros em
:
Determinar: os vértices, os focos, a excentricidade, a corda focal mínima as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles. Faça alguns esboços a mão livre.
(a)
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