Uma elipse rho tem foco F(8,9), diretriz d:-x+y+10=0 e excentricidade e=12. Determine as coordenadas de seu centro C(x0, y0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos pedindo. Temos uma elipse que possui um foco em , uma diretriz dada pela equação e uma excentricidade . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do centro da elipse .

Passo 2

Vamos relembrar o que é excentricidade. A excentricidade e = ca de uma elipse mede o quão alongada ela é. Para uma elipse, ca = 12 implies c = a2 . A relação entre a excentricidade, o semi-eixo maior e a distância do centro ao foco é dada por:
Como , temos:

Passo 3

A distância de um foco à diretriz está relacionada ao semi-eixo maior ae = Distância do centro à diretriz e à excentricidade d = |-1 cdot 8 + 1 cdot 9 + 10|raiz(-1)^2 + 1^2 = |-8 + 9 + 10|raiz2 = 11raiz2 = 11raiz22 pela fórmula:
âà
Vamos calcular a distância do foco à diretriz usando a fórmula da distância de um ponto a uma reta:

Passo 4

Sabemos que a distância do foco à diretriz é a12 = 2a = 11raiz22 implies a = 11raiz24 . Substituindo c = 11raiz28 :
Agora, podemos encontrar usando :

Passo 5

Para encontrar o centro , precisamos determinar a direção em que o foco está em relação à diretriz. A diretriz pode ser reescrita como , que tem inclinação 1. Isso indica que a direção do eixo maior está perpendicular à diretriz.

Passo 6

A normal à diretriz é a direção perpendicular a y0 - 9x0 - 8 = -1 implies y0 - 9 = - (x0 - 8) implies y0 = -x0 + 17 , ou seja, com inclinação -1. Portanto, a linha que liga o foco ao centro da elipse tem inclinação -1. Assim, a diferença nas coordenadas deve seguir a inclinação -1:

Passo 7

Agora, sabemos que a distância entre o foco raiz(x0 - 8)^2 + (y0 - 9)^2 = 11raiz28 e o centro raiz(x0 - 8)^2 + (-x0 + 17 - 9)^2 = 11raiz28 implies raiz(x0 - 8)^2 + (-x0 + 8)^2 = 11raiz28 é . Usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo :

Passo 8

Simplificando a equação:
raiz(x0 - 8)^2 + ( -x0 + 8)^2 = raiz2(x0 - 8)^2 = raiz2 |x0 - 8| = 11raiz28
Dividindo ambos os lados por |x0 - 8| = 118 :
x0 - 8 = 118 implies x0 = 8 + 118 = 758
Então, temos duas soluções:
x0 - 8 = -118 implies x0 = 8 - 118 = 538
ou

Passo 9

Agora, encontraremos y0 = -758 + 17 = -75 + 1368 = 618 usando y0 = -538 + 17 = -53 + 1368 = 838 :
Para :
Para :

Resposta

As coordenadas do centro da elipse são ou .

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