Uma elipse tem centro na origem, semi-eixo maior sobre o eixo y de comprimento a=48. Se sua corda principal tem comprimento de, então a equação dessa elipse é?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema fala sobre uma elipse com algumas características específicas: o centro está na origem, o semi-eixo maior está no eixo com comprimento , e uma corda principal com comprimento . Nosso objetivo é encontrar a equação dessa elipse. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre a equação geral da elipse e propriedades das cordas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação padrão de uma elipse com centro na origem e semi-eixo maior no eixo x^2b^2 + y^2a^2 = 1 . A forma geral é:
Aqui, é o comprimento do semi-eixo maior e é o comprimento do semi-eixo menor. No nosso caso, , então já temos parte da equação.

Passo 3

Agora, precisamos descobrir o valor de de. Para isso, vamos usar a informação sobre a corda principal. A corda principal em uma elipse é uma linha que passa por um dos focos e é perpendicular ao eixo maior. O comprimento dessa corda é dado pela fórmula:
Sabemos que e , então podemos substituir esses valores na fórmula para encontrar .

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula da corda principal:
54 = 2b^248
Vamos resolver essa equação para encontrar 54 times 48 = 2b^2 2592 = 2b^2 b^2 = 25922 b^2 = 1296 :

Passo 5

Agora que temos x^21296 + y^248^2 = 1 , podemos substituir 48^2 = 2304 e na equação padrão da elipse:
Calculando :

Passo 6

Agora, substituímos de volta na equação da elipse:
x^21296 + y^22304 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
x^21296 + y^22304 = 1

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