Mostre que num anel qualquer, a relação de associado entre elementos é de equivalência.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão é sobre aneles na matemática, que são estruturas que possuem duas operações: adição e multiplicação. Queremos mostrar que, em qualquer anel, a relação de ser associado entre elementos é uma relação de equivalência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois elementos serem associados e o que caracteriza uma relação de equivalência.
Passo 2
Antes de mais nada, vamos definir o que significa dois elementos serem associados em um anel. No contexto de anéis, dois elementos
e
são chamados de associados se existe uma unidade
no anel tal que:
Aqui, uma unidade é um elemento que possui um inverso multiplicativo no anel, ou seja, existe
tal que:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação
em um conjunto é uma relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: Para todo elemento
, . - Simétrica: Se
, então . - Transitiva: Se
e , então .
Nosso objetivo é mostrar que a relação de ser associado (
) satisfaz essas três propriedades em qualquer anel.
Passo 4
Reflexividade:
Vamos mostrar que qualquer elemento
é associado a si mesmo. Para isso, precisamos encontrar uma unidade
tal que:
Escolhemos
, que é a unidade multiplicativa do anel (já que
sempre é uma unidade em um anel). Então:
Portanto, a relação é reflexiva.
Passo 5
Simetria:
Agora, assumimos que
é associado a
, ou seja, existe uma unidade
tal que:
Queremos mostrar que
também é associado a
. Para isso, usamos o inverso da unidade
, que é
. Multiplicando ambos os lados da equação por
:
Portanto:
Isso mostra que
é associado a
, provando a simetria da relação.
Passo 6
Transitividade:
Agora, suponha que
é associado a
e
é associado a
. Isso significa que existem unidades
e
tais que:
Substituindo a segunda equação na primeira:
Como
e
são unidades, o produto
também é uma unidade (pois o inverso de
é
). Vamos chamar essa unidade de
. Então temos:
Isso mostra que
é associado a
, provando a transitividade da relação.
Resposta
Assim, demonstramos que a relação de ser associado em qualquer anel satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade. Portanto, a relação de associado entre elementos em um anel é de equivalência.