Mostre que num anel qualquer, a relação de associado entre elementos é de equivalência.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A questão é sobre aneles na matemática, que são estruturas que possuem duas operações: adição e multiplicação. Queremos mostrar que, em qualquer anel, a relação de ser associado entre elementos é uma relação de equivalência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa dois elementos serem associados e o que caracteriza uma relação de equivalência.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos definir o que significa dois elementos serem associados em um anel. No contexto de anéis, dois elementos a = u cdot b e u cdot u^-1 = u^-1 cdot u = 1 são chamados de associados se existe uma unidade no anel tal que:
Aqui, uma unidade é um elemento que possui um inverso multiplicativo no anel, ou seja, existe tal que:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação em um conjunto é uma relação de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: Para todo elemento , .
  2. Simétrica: Se , então .
  3. Transitiva: Se e , então .
Nosso objetivo é mostrar que a relação de ser associado ( ) satisfaz essas três propriedades em qualquer anel.

Passo 4

Reflexividade:
Vamos mostrar que qualquer elemento a = u cdot a é associado a si mesmo. Para isso, precisamos encontrar uma unidade a = 1 cdot a tal que:
Escolhemos , que é a unidade multiplicativa do anel (já que sempre é uma unidade em um anel). Então:
Portanto, a relação é reflexiva.

Passo 5

Simetria:
Agora, assumimos que a = u cdot b é associado a u^-1 cdot a = u^-1 cdot u cdot b , ou seja, existe uma unidade u^-1 cdot a = 1 cdot b tal que:
u^-1 cdot a = b
Queremos mostrar que b = u^-1 cdot a também é associado a . Para isso, usamos o inverso da unidade , que é . Multiplicando ambos os lados da equação por :
Portanto:
Isso mostra que é associado a , provando a simetria da relação.

Passo 6

Transitividade:
Agora, suponha que a = u cdot b é associado a b = v cdot c e a = u cdot (v cdot c) é associado a a = (u cdot v) cdot c . Isso significa que existem unidades a = w cdot c e tais que:
Substituindo a segunda equação na primeira:
Como e são unidades, o produto também é uma unidade (pois o inverso de é ). Vamos chamar essa unidade de . Então temos:
Isso mostra que é associado a , provando a transitividade da relação.

Resposta

Assim, demonstramos que a relação de ser associado em qualquer anel satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade. Portanto, a relação de associado entre elementos em um anel é de equivalência.

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