Verifique se o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre R.
V=f: R R ; f(-x)=f(x), forall x in R, operações usuais de funções. Isto é,
(f+g)(x) & =f(x)+g(x) (lambda f)(x) & =lambda f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto que consiste em todas as funções que satisfazem para todo em . Isso significa que estamos lidando com funções pares. A matéria que estamos utilizando aqui é a Teoria dos Espaços Vetoriais. Para resolver esse exercício, vamos precisar verificar se satisfaz todos os axiomas necessários para ser um espaço vetorial sobre os números reais .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre é um conjunto que, junto com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar, satisfaz oito axiomas básicos (como fechamento, associatividade, existência de zero, etc.). Nosso objetivo é verificar se cumpre todos esses axiomas com as operações usuais de funções.

Passo 3

Vamos começar verificando se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas funções pares e em , a soma também deve ser uma função par.
Considerando .
Então, também é par. Isso mostra que é fechado sob adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar se é fechado sob multiplicação por escalar. Pegue uma função em e um escalar em . A função deve também ser par.
Calculando .
Assim, é par, o que confirma que é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Vamos conferir a existência do vetor zero. No contexto de funções, o vetor zero é a função que associa zero a todo , isto é, para todo . Claro que essa função é par, pois . Então, o vetor zero está em .

Passo 6

Precisamos garantir que para cada função em , exista uma função inversa também em . Vamos ver:
.
Então, é par e pertence a .

Passo 7

Os outros axiomas, como associatividade e comutatividade da adição, distribuição da multiplicação por escalar, etc., já são herdados das operações usuais de funções, que sabemos que satisfazem esses requisitos.

Resposta

Sim, o conjunto de funções pares com operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre .

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