Verifique se o conjunto
com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre
.
, operações usuais de funções. Isto é,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um conjunto
que consiste em todas as funções
que satisfazem
para todo
em
. Isso significa que estamos lidando com funções pares. A matéria que estamos utilizando aqui é a Teoria dos Espaços Vetoriais. Para resolver esse exercício, vamos precisar verificar se
satisfaz todos os axiomas necessários para ser um espaço vetorial sobre os números reais
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre
é um conjunto que, junto com as operações de adição de vetores e multiplicação por escalar, satisfaz oito axiomas básicos (como fechamento, associatividade, existência de zero, etc.). Nosso objetivo é verificar se
cumpre todos esses axiomas com as operações usuais de funções.
Passo 3
Vamos começar verificando se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas funções pares
e
em
, a soma
também deve ser uma função par.
Considerando
.
Então,
também é par. Isso mostra que
é fechado sob adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Pegue uma função
em
e um escalar
em
. A função
deve também ser par.
Calculando
.
Assim,
é par, o que confirma que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Vamos conferir a existência do vetor zero. No contexto de funções, o vetor zero é a função que associa zero a todo
, isto é,
para todo
. Claro que essa função é par, pois
. Então, o vetor zero está em
.
Passo 6
Precisamos garantir que para cada função
em
, exista uma função inversa
também em
. Vamos ver:
Então,
é par e pertence a
.
Passo 7
Os outros axiomas, como associatividade e comutatividade da adição, distribuição da multiplicação por escalar, etc., já são herdados das operações usuais de funções, que sabemos que satisfazem esses requisitos.
Resposta
Sim, o conjunto
de funções pares com operações usuais de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial sobre
.