Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre integras impróprias. A integração imprópria ocorre quando os limites de integração são infinitos ou quando a função tem algum ponto onde ela não está definida dentro do intervalo. Nesse caso, a gente precisa descobrir se a integral
existe e se ela converge. Pra resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente envolvendo integrais que vão até o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a integral
. Ela está pedindo para calcular a área sob a curva da função
começando de
até
indo para mais infinito. Como o limite superior é infinito, essa é uma integral imprópria.
Passo 3
Para resolver integrais impróprias com limites que vão para o infinito, a gente substitui o limite infinito por uma variável, digamos
, e depois faz o limite conforme
se aproxima do infinito. Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida
. A antiderivada de
é conhecida:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Aplicando os limites de integração de 0 a
, temos:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando
vai para mais infinito:
Sabemos que
se aproxima de
conforme
cresce sem limite. Ou seja:
Resposta
A integral
existe e converge, sendo que seu valor é
.
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de modo que
e
sejam ortogonais, onde:
a) .
a)
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