Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
integral0^+infty 1x^2+1 d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre integras impróprias. A integração imprópria ocorre quando os limites de integração são infinitos ou quando a função tem algum ponto onde ela não está definida dentro do intervalo. Nesse caso, a gente precisa descobrir se a integral existe e se ela converge. Pra resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente envolvendo integrais que vão até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a integral . Ela está pedindo para calcular a área sob a curva da função começando de até indo para mais infinito. Como o limite superior é infinito, essa é uma integral imprópria.

Passo 3

Para resolver integrais impróprias com limites que vão para o infinito, a gente substitui o limite infinito por uma variável, digamos integral0^+infty 1x^2+1 dx = limb to +infty integral0^b 1x^2+1 dx , e depois faz o limite conforme se aproxima do infinito. Então, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida integral 1x^2+1 dx = arctan(x) + C . A antiderivada de é conhecida:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Aplicando os limites de integração de 0 a integral0^b 1x^2+1 dx = arctan(b) - arctan(0) , temos:
arctan(b) - 0 = arctan(b)
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando limb to +infty arctan(b) vai para mais infinito:
limb to +infty arctan(b) = pi2
Sabemos que se aproxima de conforme cresce sem limite. Ou seja:

Resposta

A integral existe e converge, sendo que seu valor é .

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