Determine alpha em R de modo que u e v sejam ortogonais, onde:
a) u = (α, α, 4), v = (4, α, 1).

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra linear onde precisamos encontrar o valor de que torna os vetores e ortogonais. Vetores são ortogonais quando o produto escalar entre eles é igual a zero. Os vetores dados são:
Para resolver, vamos calcular o produto escalar de e e igualá-lo a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Para dois vetores e , o produto escalar é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores e :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo do produto escalar:
Para que e sejam ortogonais, esse produto deve ser igual a zero:

Passo 4

Temos agora uma equação quadrática na forma:
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde:

Passo 5

Vamos calcular o discriminante ( ):
Como , a equação tem uma única solução real:

Resposta

O valor de que torna os vetores e ortogonais é .

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