Resolver as seguintes integrais:
SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse é um exercício de Substituição Trigonométrica, que é uma técnica usada para resolver integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e algumas substituições para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos deixar
se parecer com a identidade trigonométrica
. Vamos reescrever
da seguinte forma:
Isso nos permite fazer a substituição trigonométrica.
Passo 3
Agora, vamos definir uma nova variável
tal que:
Diferenciando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a raiz fica:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Sabemos que a integral de
pode ser resolvida usando substituição. Vamos definir
, então
. A integral fica:
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
. Sabemos que:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a: