Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse é um exercício de Substituição Trigonométrica, que é uma técnica usada para resolver integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e algumas substituições para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos deixar se parecer com a identidade trigonométrica . Vamos reescrever da seguinte forma:
Isso nos permite fazer a substituição trigonométrica.

Passo 3

Agora, vamos definir uma nova variável tal que:
Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a raiz fica:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
Simplificando os coeficientes:

Passo 6

Sabemos que a integral de pode ser resolvida usando substituição. Vamos definir , então . A integral fica:

Passo 7

Agora, voltamos à variável original . Sabemos que:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
.
Determine de modo que e sejam ortogonais, onde:
a) .
Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

.
Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.