Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

integral raiz7-4 t^2t^4 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral raiz7 - 4 t^2t^4 dt. Esse é um exercício de Substituição Trigonométrica, que é uma técnica usada para resolver integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e algumas substituições para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos deixar 7 - 4t^2 se parecer com a identidade trigonométrica a^2 - b^2 sin^2theta. Vamos reescrever 7 - 4t^2 da seguinte forma:
7 - 4t^2 = (raiz7)^2 - (2t)^2
Isso nos permite fazer a substituição trigonométrica.

Passo 3

Agora, vamos definir uma nova variável theta tal que:
2t = raiz7 sintheta implies t = raiz72 sintheta
Diferenciando ambos os lados em relação a theta, temos:
dt = raiz72 costheta dtheta

Passo 4

Substituímos t e dt na integral original:
integral raiz7 - 4t^2t^4 dt = integral raiz7 - 4(raiz72 sintheta)^2(raiz72 sintheta)^4 cdot raiz72 costheta dtheta
Simplificando dentro da raiz:
7 - 4(74 sin^2theta) = 7 - 7sin^2theta = 7cos^2theta
Então, a raiz fica:
raiz7cos^2theta = raiz7 costheta

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral raiz7 costheta(raiz72 sintheta)^4 cdot raiz72 costheta dtheta = integral raiz7 costheta4916 sin^4theta cdot raiz72 costheta dtheta
Simplificando os coeficientes:
integral 16 cdot 7 cos^2theta49 sin^4theta dtheta = 11249 integral cos^2thetasin^4theta dtheta = 167 integral cot^2theta csc^2theta dtheta

Passo 6

Sabemos que a integral de cot^2theta csc^2theta pode ser resolvida usando substituição. Vamos definir u = cottheta, então du = -csc^2theta dtheta. A integral fica:
167 integral u^2 (-du) = -167 integral u^2 du = -167 cdot u^33 + C = -1621 cot^3theta + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original t. Sabemos que:
cottheta = costhetasintheta = raiz7 - 4t^22t
Substituindo de volta:
-1621 cot^3theta + C = -1621 (raiz7 - 4t^22t)^3 + C = -1621 cdot (7 - 4t^2)^3/28t^3 + C
Simplificando:
-221 cdot (7 - 4t^2)^3/2t^3 + C

Resposta

A integral integral raiz7 - 4 t^2t^4 d t é igual a:
-221 cdot (7 - 4t^2)^3/2t^3 + C

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