Resolver as seguintes integrais:
SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse é um exercício de Substituição Trigonométrica, que é uma técnica usada para resolver integrais envolvendo raízes quadradas de expressões quadráticas. Vamos precisar usar identidades trigonométricas e algumas substituições para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos deixar
se parecer com a identidade trigonométrica
. Vamos reescrever
da seguinte forma:
Isso nos permite fazer a substituição trigonométrica.
Passo 3
Agora, vamos definir uma nova variável
tal que:
Diferenciando ambos os lados em relação a
, temos:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a raiz fica:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Sabemos que a integral de
pode ser resolvida usando substituição. Vamos definir
, então
. A integral fica:
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
. Sabemos que:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
.
Determine
de modo que
e
sejam ortogonais, onde:
a) .
a)
Resolver as seguintes integrais:
DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS
Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.
Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.