Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com frações racionais, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar a técnica de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador . Isso vai nos ajudar a quebrar a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos o lado direito:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Substituindo na primeira equação: , então

Passo 7

Agora que temos e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Ou seja,

Passo 8

Agora, substituímos essa expressão na integral original:

Passo 9

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de é e a integral de é . Portanto:

Passo 10

Juntando tudo e adicionando a constante de integração :

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
.
Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.
Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área da superfície da mancha em relação ao raio do círculo para .