Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

integral x+2x^2+x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com frações racionais, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar a técnica de decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 + x = x(x + 1) . Isso vai nos ajudar a quebrar a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.
integral x+2x(x + 1) , dx
Agora, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração x + 2x(x + 1) = Ax + Bx + 1 em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por x + 2 = A(x + 1) + Bx para eliminar os denominadores:
x + 2 = A x + A + B x = (A + B)x + A
Agora, expandimos o lado direito:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
A + B = 1 (coeficiente de x) A = 2 (termo constante)

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. Substituindo na primeira equação: , então

Passo 7

Agora que temos x + 2x(x + 1) = 2x + -1x + 1 e x + 2x(x + 1) = 2x - 1x + 1 , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Ou seja,

Passo 8

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral x + 2x(x + 1) , dx = integral ( 2x - 1x + 1 ) , dx

Passo 9

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral 2x , dx = 2 ln|x| é integral -1x + 1 , dx = -ln|x + 1| e a integral de é . Portanto:

Passo 10

Juntando tudo e adicionando a constante de integração 2 ln|x| - ln|x + 1| + C :

Resposta

A integral 2 ln|x| - ln|x + 1| + C é igual a:

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