Resolver as seguintes integrais:
DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com frações racionais, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar a técnica de decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso vai nos ajudar a quebrar a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.
Agora, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos o lado direito:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
-
- Substituindo
na primeira equação: , então
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Ou seja,
Passo 8
Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Passo 9
Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de
é
e a integral de
é
. Portanto:
Passo 10
Juntando tudo e adicionando a constante de integração
:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes integrais:
SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA
Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
.
Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 metros da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.
Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.
Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área
da superfície da mancha em relação ao raio
do círculo para
.