Resolver as seguintes integrais:
DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Primeiro, vamos identificar que estamos lidando com frações racionais, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar a técnica de decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso vai nos ajudar a quebrar a fração em partes menores que são mais fáceis de integrar.
Agora, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, expandimos o lado direito:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
-
- Substituindo
na primeira equação: , então
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Ou seja,
Passo 8
Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Passo 9
Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de
é
e a integral de
é
. Portanto:
Passo 10
Juntando tudo e adicionando a constante de integração
:
Resposta
A integral
é igual a: