Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUÇÃã

integral x^3 e^2 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos a integral . Isso envolve funções polinomiais ( ) e exponenciais ( ), e para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes. Essa técnica é super útil quando temos o produto de duas funções e queremos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes. Ela diz que:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, a gente escolhe partes da nossa integral para serem e . Normalmente, escolhemos como a função que fica mais simples ao derivar, e como o restante.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa integral u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 , dx . Vamos escolher:
dv = e^2x , dx Rightarrow v = 12 e^2x
A gente derivou para achar e integrou para achar .

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da integração por partes:
integral x^3 e^2x , dx = u , v - integral v , du
= x^3 cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cdot 3x^2 , dx
= 12 x^3 e^2x - 32 integral x^2 e^2x , dx
Agora, a gente precisa resolver a nova integral , que ainda é um pouco complicada. Vamos aplicar integração por partes de novo.

Passo 5

Para u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx , vamos escolher:
dv = e^2x , dx Rightarrow v = 12 e^2x
integral x^2 e^2x , dx = x^2 cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cdot 2x , dx
Aplicando a fórmula novamente:
= 12 x^2 e^2x - integral x e^2x , dx
Precisamos resolver agora.

Passo 6

Para u = x Rightarrow du = dx , vamos de novo usar integração por partes:
dv = e^2x , dx Rightarrow v = 12 e^2x
integral x e^2x , dx = x cdot 12 e^2x - integral 12 e^2x cdot 1 , dx
Aplicando a fórmula:
= 12 x e^2x - 14 e^2x + C

Passo 7

Voltando ao passo anterior, onde tínhamos:
integral x^2 e^2x , dx = 12 x^2 e^2x - ( 12 x e^2x - 14 e^2x ) + C
= 12 x^2 e^2x - 12 x e^2x + 14 e^2x + C

Passo 8

Agora, substituímos esse resultado de volta na integral original:
integral x^3 e^2x , dx = 12 x^3 e^2x - 32 ( 12 x^2 e^2x - 12 x e^2x + 14 e^2x ) + C
= 12 x^3 e^2x - 34 x^2 e^2x + 34 x e^2x - 38 e^2x + C

Resposta

A integral 12 x^3 e^2x - 34 x^2 e^2x + 34 x e^2x - 38 e^2x + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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