Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a integral imprópria existe e se ela converge. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente o estudo de integrais impróprias. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função quando vai para o infinito e ver se a área sob a curva é finita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria como essa envolve um limite, porque o intervalo de integração vai até o infinito. Então, podemos reescrever a integral como:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida . Para isso, podemos reescrever a função como e usar a regra de potência para integrais:
Aqui, , então:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração na antiderivada que encontramos:
Vamos calcular o limite:
Então:

Resposta

A integral imprópria existe e converge para o valor final .

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

Prove que:
.
Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
(a) Mostrar que é limitada entre 0 e 1 ;
(b) Mostrar que a seguinte integral converge:
© Mostrar que, para todo inteiro positivo n , a seguinte integral converge:
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: