Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a integral imprópria
existe e se ela converge. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente o estudo de integrais impróprias. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função quando
vai para o infinito e ver se a área sob a curva é finita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria como essa envolve um limite, porque o intervalo de integração vai até o infinito. Então, podemos reescrever a integral como:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral definida
. Para isso, podemos reescrever a função como
e usar a regra de potência para integrais:
Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração na antiderivada que encontramos:
Vamos calcular o limite:
Então:
Resposta
A integral imprópria
existe e converge para o valor final
.