Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
integral2^+infty 1x^3 / 2 dx.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se a integral imprópria integral2^+infty 1x^3/2 dx existe e se ela converge. Vamos usar o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente o estudo de integrais impróprias. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função quando vai para o infinito e ver se a área sob a curva é finita.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral imprópria como essa envolve um limite, porque o intervalo de integração vai até o infinito. Então, podemos reescrever a integral como:
integral2^+infty 1x^3/2 dx = limb to +infty integral2^b 1x^3/2 dx

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida integral x^n dx = x^n+1n+1 + C (onde ( n neq -1 )) . Para isso, podemos reescrever a função como integral x^-3/2 dx = x^-3/2 + 1-3/2 + 1 + C = x^-1/2-1/2 + C = -2x^-1/2 + C = -2raizx + C e usar a regra de potência para integrais:
Aqui, , então:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração na antiderivada que encontramos:
limb to +infty [ -2raizb + 2raiz2 ]
Vamos calcular o limite:
limb to +infty -2raizb = 0
Então:
0 + 2raiz2 = 2raiz2 = raiz2

Resposta

A integral imprópria integral2^+infty 1x^3/2 dx existe e converge para o valor final .

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