Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

Passo 1

E aí! Vamos resolver a integral . Esse problema envolve decomposição em frações parciais, uma técnica usada para quebrar frações complexas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar identificar como decompor o numerador sobre o denominador dado.

Passo 2

Primeiro, observamos o denominador . Ele é um polinômio quadrático elevado ao quadrado, o que sugere que podemos usar a decomposição em frações parciais apropriada para fatores quadráticos repetidos.

Passo 3

A próxima etapa é expressar a fração original como uma soma de frações mais simples. Para denominadores quadráticos repetidos como , a decomposição geralmente assume a forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:

Passo 5

Vamos distribuir :
Simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para o termo constante:

Passo 7

Resolvendo as equações:
  1. De , substituímos na segunda equação:
  2. De , e substituindo na quarta equação:

Passo 8

Com os valores encontrados , , e , a decomposição fica:
Parece que a decomposição não simplificou a integral como esperávamos. Então, vamos tentar integrar diretamente quebrando o integrando em duas partes.

Passo 9

Vamos separar o integrando:
Para a primeira integral, usamos a substituição , então , o que simplifica a integração.

Passo 10

Integrando cada parte:
  1. Para :
Então,
  1. Para , usamos uma integral padrão:
Aqui, , então:

Resposta

Juntando as duas partes integradas, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Prove que:
.
Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

.
Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
.
Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
(a) Mostrar que é limitada entre 0 e 1 ;
(b) Mostrar que a seguinte integral converge:
© Mostrar que, para todo inteiro positivo n , a seguinte integral converge: