Prove que:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é provar que a derivada da função cosséc(x) é igual a -cosséc(x) vezes cotan(x). Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e algumas identidades trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função cosséc(x) pode ser escrita de outra forma que facilita a derivação. Sabemos que:
Isso vai ajudar a gente a aplicar as regras de derivação com mais facilidade.

Passo 3

Agora, para derivar essa função, vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que a derivada de uma função que é uma divisão de duas funções é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão resultante usando identidades trigonométricas. Sabemos que:
E que:
Logo, podemos reescrever a derivada da seguinte forma:

Resposta

Portanto, provamos que:

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Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUIÇÃO TRIGONOMÉTRICA

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Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUÇÃã

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Resolver as seguintes integrais:

DECOMPOSIÇÃO EMFRAÇÕESPARCIAIS

Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
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