Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
(a) Mostrar que (ln x) x^1 / 4 é limitada entre 0 e 1 ;
(b) Mostrar que a seguinte integral converge:
integral0^1 ln xx^1 / 2 d x
© Mostrar que, para todo inteiro positivo n , a seguinte integral converge:
integral0^1 (ln x)^nx^1 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três partes:
a) Mostrar que a função está limitada entre 0 e 1 no intervalo de entre 0 e 1.
b) Mostrar que a integral converge.
c) Mostrar que, para qualquer número inteiro positivo , a integral também converge.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, principalmente sobre limites, funções e integras impróprias. Bora resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Mostrar que |(ln x) x^1/4| é limitada entre 0 e 1 no intervalo limx to 0^+ (ln x) x^1/4 = limx to 0^+ ln xx^-1/4 .
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser “limitada”. Dizemos que uma função está limitada em um intervalo se seus valores não saem de um certo intervalo fechado. Aqui, queremos mostrar que está entre 0 e 1 para todo entre 0 e 1.
Sabemos que para :
  • é negativo porque o logaritmo natural de números menores que 1 é negativo.
  • é positivo e crescente, já que qualquer potência de com expoente positivo em resulta em um número entre 0 e 1.
Então, será negativo. Mas para verificar os limites, vamos olhar para o valor absoluto:
Queremos mostrar que isso é menor que 1.
Vamos analisar os limites:
  • Quando se aproxima de 1: e , então o produto é 0.
  • Quando se aproxima de 0: tende a , mas tende a 0. Precisamos ver qual das duas “forças” domina.
Usando o limite:
Aqui, tende a mais lentamente que cresce para . Portanto, o limite é 0.
Assim, está limitada entre 0 e 1 no intervalo considerado.

Passo 3

Parte (b): Mostrar que a integral dx = 2t dt converge.
Esta é uma integral imprópria porque o integrando pode não ser definido em integral0^1 ln xx^1/2 dx = integral0^1 ln(t^2)t cdot 2t dt = 2 integral0^1 2 ln t , dt = 2 integral0^1 ln t , dt . Precisamos verificar se a integral converge.
Vamos analisar o comportamento da função integral ln t , dt = t ln t - t + C quando limt to 0^+ t ln t = 0 se aproxima de 0.
Sabemos que:
  • 2 [ (1 cdot ln 1 - 1) - (0 - 0) ] = 2 [ -1 ] = -2 tende a quando .
  • tende a quando .
Portanto, o produto tende a . Mas para verificar a convergência, podemos realizar uma substituição.
Vamos fazer a substituição , ou seja, . Então, quando vai de 0 a 1, também vai de 0 a 1.
Calculando a diferencial:
Substituindo na integral:
Agora, sabemos que:
Calculando o limite de quando :
Portanto, a integral definida é:
Como a integral resultou em um valor finito, concluímos que ela converge.

Passo 4

Parte ©: Mostrar que, para todo inteiro positivo integral0^1 (ln x)^nx^1/2 dx , a integral integral0^1 (ln(t^2))^nt cdot 2t dt = 2 integral0^1 (2 ln t)^n dt = 2 cdot 2^n integral0^1 (ln t)^n dt = 2^n+1 integral0^1 (ln t)^n dt converge.
Vamos generalizar o que fizemos na parte (b) para qualquer potência integral0^1 (ln t)^n dt = (-1)^n n! de 2^n+1 cdot (-1)^n n! = (-2)^n+1 n! .
Consideramos a integral:
Fazemos a mesma substituição , ou seja, , e .
Substituindo na integral:
Agora, precisamos avaliar .
Sabemos que:
Portanto, a integral original fica:
Como é finito para qualquer inteiro positivo , concluímos que a integral converge para qualquer inteiro positivo.

Resposta

Todas as integrais impróprias apresentadas existem e convergem. Mais especificamente:
a) A função está limitada entre 0 e 1 para .
b) A integral converge e seu valor é .
c) Para todo inteiro positivo , a integral converge e seu valor é .

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