Determinar se as seguintes integrais impróprias existem ou não, e se convergem ou não:
(a) Mostrar que
é limitada entre 0 e 1 ;
(b) Mostrar que a seguinte integral converge:
© Mostrar que, para todo inteiro positivo n , a seguinte integral converge:
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que a seguinte integral converge:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três partes:
a) Mostrar que a função
está limitada entre 0 e 1 no intervalo de
entre 0 e 1.
b) Mostrar que a integral
converge.
c) Mostrar que, para qualquer número inteiro positivo
, a integral
também converge.
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, principalmente sobre limites, funções e integras impróprias. Bora resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Mostrar que
é limitada entre 0 e 1 no intervalo
.
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser “limitada”. Dizemos que uma função está limitada em um intervalo se seus valores não saem de um certo intervalo fechado. Aqui, queremos mostrar que
está entre 0 e 1 para todo
entre 0 e 1.
Sabemos que para
:
-
é negativo porque o logaritmo natural de números menores que 1 é negativo. -
é positivo e crescente, já que qualquer potência de com expoente positivo em resulta em um número entre 0 e 1.
Então,
será negativo. Mas para verificar os limites, vamos olhar para o valor absoluto:
Queremos mostrar que isso é menor que 1.
Vamos analisar os limites:
- Quando
se aproxima de 1: e , então o produto é 0. - Quando
se aproxima de 0: tende a , mas tende a 0. Precisamos ver qual das duas “forças” domina.
Usando o limite:
Aqui,
tende a
mais lentamente que
cresce para
. Portanto, o limite é 0.
Assim,
está limitada entre 0 e 1 no intervalo considerado.
Passo 3
Parte (b): Mostrar que a integral
converge.
Esta é uma integral imprópria porque o integrando pode não ser definido em
. Precisamos verificar se a integral converge.
Vamos analisar o comportamento da função
quando
se aproxima de 0.
Sabemos que:
-
tende a quando . -
tende a quando .
Portanto, o produto
tende a
. Mas para verificar a convergência, podemos realizar uma substituição.
Vamos fazer a substituição
, ou seja,
. Então, quando
vai de 0 a 1,
também vai de 0 a 1.
Calculando a diferencial:
Substituindo na integral:
Agora, sabemos que:
Calculando o limite de
quando
:
Portanto, a integral definida é:
Como a integral resultou em um valor finito, concluímos que ela converge.
Passo 4
Parte ©: Mostrar que, para todo inteiro positivo
, a integral
converge.
Vamos generalizar o que fizemos na parte (b) para qualquer potência
de
.
Consideramos a integral:
Fazemos a mesma substituição
, ou seja,
, e
.
Substituindo na integral:
Agora, precisamos avaliar
.
Sabemos que:
Portanto, a integral original fica:
Como
é finito para qualquer inteiro positivo
, concluímos que a integral converge para qualquer
inteiro positivo.
Resposta
Todas as integrais impróprias apresentadas existem e convergem. Mais especificamente:
a) A função
está limitada entre 0 e 1 para
.
b) A integral
converge e seu valor é
.
c) Para todo inteiro positivo
, a integral
converge e seu valor é
.