Resolver as seguintes integrais:

SUBSTITUÇÃã

integral(x^3+1)^7 / 5 x^5 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O conteúdo que vamos usar aqui é a substituição, ou mudança de variável, que ajuda a simplificar integrais complicadas. Para isso, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma única variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da integral para substituir. Olhando para u = x^3 + 1 , parece uma boa candidata. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 3x^2 em relação a du = 3x^2 dx para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

Precisamos expressar x^3 = u - 1 em termos de x^2 dx = du3 e integral(x^3+1)^7/5 x^5 dx = integral u^7/5 (u - 1) cdot 13 du . Podemos reescrever como . Sabemos que , então:
E também temos:
Substituindo na integral original:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral em termos de 13 integral (u^7/5 cdot u - u^7/5) du = 13 integral (u^12/5 - u^7/5) du :
13 ( u^17/5175 - u^12/5125 ) + C
Integrando termo a termo:
13 ( 517 u^17/5 - 512 u^12/5 ) + C
Simplificando os denominadores:

Resposta

Substituindo 551 (x^3 + 1)^17/5 - 536 (x^3 + 1)^12/5 + C de volta, a solução da integral é:

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