Determinar se os seguintes operadores lineares do
são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas
d)
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Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um operador linear
definido por
. A questão quer saber se esse operador é idempotente, nilpotente ou nenhuma das duas coisas. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de operadores idempotentes e nilpotentes na álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser idempotente. Um operador
é idempotente se, ao aplicá-lo duas vezes, o resultado é igual a aplicá-lo uma vez. Matematicamente, isso é expresso por:
Ou seja,
para todo vetor
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa um operador ser nilpotente. Um operador
é nilpotente se existe algum número inteiro positivo
tal que:
Onde
é o operador nulo que envia todos os vetores para o vetor zero.
Passo 4
Vamos aplicar o operador
duas vezes para verificar se ele é idempotente. Primeiro, aplicamos
uma vez:
Agora, aplicamos
de novo ao resultado:
Então, temos que:
Isso significa que:
Portanto,
não é idempotente.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é nilpotente. Já vimos que:
O operador nulo. Isso satisfaz a definição de nilpotência com
. Portanto:
Resposta
O operador
é nilpotente.