Determinar se os seguintes operadores lineares do R^3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas
d) F(x, y, z)=(0,0, x) P^2=(0,0, x)=(0,0,0) therefore 3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem um operador linear definido por . A questão quer saber se esse operador é idempotente, nilpotente ou nenhuma das duas coisas. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de operadores idempotentes e nilpotentes na álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um operador ser idempotente. Um operador P^2 = P é idempotente se, ao aplicá-lo duas vezes, o resultado é igual a aplicá-lo uma vez. Matematicamente, isso é expresso por:
Ou seja, para todo vetor .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa um operador ser nilpotente. Um operador P^k = 0 é nilpotente se existe algum número inteiro positivo tal que:
Onde é o operador nulo que envia todos os vetores para o vetor zero.

Passo 4

Vamos aplicar o operador F(x, y, z) = (0, 0, x) duas vezes para verificar se ele é idempotente. Primeiro, aplicamos F(F(x, y, z)) = F(0, 0, x) = (0, 0, 0) uma vez:
F^2(x, y, z) = (0, 0, 0)
Agora, aplicamos F^2 neq F de novo ao resultado:
Então, temos que:
Isso significa que:
Portanto, não é idempotente.

Passo 5

Agora, vamos verificar se F^2 = 0 é nilpotente. Já vimos que:
F^2 = 0 Rightarrow F é nilpotente
O operador nulo. Isso satisfaz a definição de nilpotência com . Portanto:
é

Resposta

O operador é nilpotente.

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