Determine a projeção de v sobre u u=(1, 2), v=(-4,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a projeção do vetor v = (-4, 1) sobre o vetor u = (1, 2). Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, especificamente a projeção de vetores. Para chegar na resposta, vamos usar a fórmula da projeção e entender cada parte dela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para projetar um vetor v sobre outro vetor u. A projeção é dada por:
proju v = ( v cdot uu cdot u ) u
Aqui, v cdot u é o produto escalar entre os vetores, e u cdot u é o produto escalar de u consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar v cdot u. Lembrando que o produto escalar de dois vetores (a, b) e (c, d) é dado por ac + bd. Então:
v cdot u = (-4)(1) + (1)(2) = -4 + 2 = -2

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto escalar u cdot u:
u cdot u = (1)(1) + (2)(2) = 1 + 4 = 5

Passo 5

Com esses valores, podemos substituir na fórmula da projeção:
proju v = ( -25 ) u = -25 cdot (1, 2)

Passo 6

Agora, vamos multiplicar o escalar -25 pelo vetor u:
-25 cdot (1, 2) = ( -25 times 1, -25 times 2 ) = ( -25, -45 )

Resposta

A projeção de v sobre u é ( dfrac-25, dfrac-45 ).

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